continuidad

2.3.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no
aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”. En lafigura 2.6.,
aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el
punto x = a de su dominio (fig. 2.6. (a) y 2.6. (b)) y la otra (fig. 2.6. (c))
continua en todo sudominio.

(a)

(b)

(c)
fig. 2.6.

Al mirar con un poco de cuidado las gráficas de la fig. 2.6., se pueden deducir
intuitivamente, resultados que permitirán comprender con mayor claridad ladefinición
precisa de lo que significa: “ser una función continua en un punto dado de su dominio”.
En la gráfica de la fig. 2.6. (a) se tiene:
i.

Lim − f ( x ) = Lim + f ( x ) = L
x→ a

x→ aLim

Luego,
ii.

x→ a

f(a) existe.
Pero, Lim

x→ a

f (x)

existe y es igual a L.

f ( x) = L ≠ f (a ) .

Por esta razón, f es discontinua.
¿Qué le sucedería a la gráfica si f(a)fuese igual a L?
Para la gráfica de la fig. 2.6. (b) se tiene:
i.

Lim − f ( x ) = L 1 ≠ Lim + f ( x ) = L 2 .
x→ a

x→ a

Lim f ( x )

En consecuencia,

x→ a

No existe. Por ello, f esdiscontinua en

a.
ii.

f(a) = L1.

Finalmente, para la gráfica de la fig. 2.6. (c) se tiene:
i.

Lim + f ( x ) = Lim − f ( x ) = L .
x→ a

x→ a

Así, Lim

x→ a

ii.

f (x)existe y es igual a L.

f(a) Existe y es igual a L.
En síntesis,

iii.

Lim

x→ a

f ( x) = f (a )

Por tanto, f es continua en a.
Estas tres condiciones son las que, en última instancia,permiten deducir intuitivamente
que la función cuya gráfica aparece en la fig. 2.6. (c) es continua en el punto a.
Lo anterior permite establecer la siguiente definición.
Definición 2.2
Una funciónf es CONTÍNUA EN x = a, si y sólo si se satisfacen las siguientes
condiciones:

i.

f(a) existe.

ii.

Lim

f (x)

iii.

Lim

f (x) =

x→ a

x→ a

existe.
f (a )

Si al...