continuidad

Distribución hipergeométrica
En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada conmuestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, dpertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x () elementos de la categoría A en una muestra sinreemplazo de n elementos de la población original.

Propiedades
La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

donde  es el tamaño de población,  es el tamaño de la muestra extraída,  es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y  es elnúmero de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación  hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar  elementos de un total .
El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

y su varianza,

En la fórmula anterior, definiendo

y

se obtiene

La distribuciónhipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

Distribución geométrica
En teoría de probabilidad y estadística,la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:
la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o
la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.
Cual de éstas es la queuno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y conveniencia.
Propiedades
Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es

para x = 0, 1, 2, 3,....
En ambos casos, la secuencia deprobabilidades es una progresión geométrica.
El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es

y dado que Y = X-1,

En ambos casos, la varianza es


Distribución binomial negativa
En estadística la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a ladistribución de Pascal.
El número de experimentos de Bernoulli deparámetro  independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y .
La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
Propiedades
Su función de probabilidad es

para enteros x mayores o iguales que k, donde
.
Su media es

si se piensa en el número defracasos únicamente y

si se cuentan también los k-1 éxitos.
Su varianza es

Distribución multinomial
En teoría de probabilidad, la distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial.
La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, elanálogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades  (tal que  para i entre 1 y K y ); y con n sucesos independientes.
Entonces sea la variable aleatoria , que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector  sigue una...