Continuidad

CONTINUIDAD

1. Continuidad Definici´n 1.1. Sea f : Dom (f ) → R y a ∈ Dom (f ). Se dice que la o funci´n f es continua en a si y s´lo s´ lim f (x) existe y o o ı
x→a x→a

lim f (x) = f (a).

Si D ⊂ R y f es continua en a para todo a ∈ D se dice que f es continua en D. Ejemplo: (1) La funci´n f (x) = x es continua en todo R. o (2) Las funciones sin(x) y cos(x) son continuas en todo R. (3)La funci´n f (x) = |x| es continua en todo R. o (4) La funci´n o sin(x) si x = 0 x f (x) = m si x = 0 es continua en x = 0 si y s´lo s´ m = 1. o ı Definici´n 1.2. Sea f : Dom (f ) → R y a ∈ Dom (f ). Se dice que la o funci´n f es continua por la derecha en a si y s´lo s´ lim f (x) existe y o o ı
x→a+ x→a+

lim f (x) = f (a).

De manera an´loga se define l´ a ımite por la izquierda. Ejemplo: √ Lafunci´n f (x) = x es continua por la derecha en x = 0. o Ejercicio: Determinar m de manera que la funci´n o  2 si  x m si f (x) =  x + 1 si

x α entonces [a1 , b1 ] = [a0 , c0 ], y Si f (c0 ) < α entonces [a1 , b1 ] = [c0 , b0 ]. Observamos que en ambos casos a1 ≥ a0 , b1 ≤ b0 , f (a1 ) ≤ α, f (b1 ) ≥ α y adem´s |b1 − a1 | = |b0 −a0 | . a 2 Supongamos ahora que hemos construido an y bn talesque an ≥ an−1 , −a bn ≤ bn−1 , f (an ) ≤ α, f (bn ) ≥ α y adem´s |bn − an | = |b02n 0 | . Sea cn = a an +bn el punto medio entre an y bn . Si f (cn ) = α ponemos c = cn y la 2 demostraci´n est´ terminada En caso contrario construimos an+1 y bn+1 de o a acuerdo a la regla siguiente: Si f (cn ) > α entonces [an+1 , bn+1 ] = [an , cn ], y Si f (cn ) < α entonces [an+1 , bn+1 ] = [cn , bn ]. En amboscasos se tiene an+1 ≥ an , bn+1 ≤ bn , f (an+1 ) ≤ α, f (bn+1 ) ≥ α y 0 −a adem´s |bn+1 − an+1 | = |b2n+10 | . a Como la sucesi´n {an }∞ es mon´tona creciente y acotada superiormente o o n=0 por b por el Axioma del Supremo se tiene que existe c ≤ b tal que lim an = c. n→∞ Tambi´n e |b0 − a0 | |bn − c| = |bn − an + an − c| ≤ |bn − an | + |an − c| ≤ + |an − c| 2n y por lo tanto lim bn = c y c ≥ a.n→∞ As´ ı a ≤ lim an = c = lim bn ≤ b.
n→∞ n→∞

Como f es continua se tiene que
n→∞

lim f (an ) = f (c) = lim f (bn ).
n→∞

Ahora, como f (an ) ≤ α y f (bn ) ≥ α para todo n, se tiene f (c) = lim f (an ) ≤ α
n→∞

y f (c) = lim f (bn ) ≥ α.
n→∞

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CONTINUIDAD

Por lo tanto f (c) = α lo que termina la demostraci´n. o

Teorema del Valor Intermedio (a,f(a))

h (c,f(c))(b,f(b))

Teorema del Valor Intermedio. Ejercicio: D´ un ejemplo en que exista mas de un punto c tal que f (c) = h. e Note que el teorema anterior garantiza la existencia de al menos un punto pero puede haber varios. Ejercicio: Usando el m´todo de la demostraci´n anterior, y una calculadora, d´ un e o e valor aproximado, con un error de no m´s de 10−2 , de una raiz de a a) x5 + x3 − 1 = 0 b) cos(x)= x Ejercicio: Demuestre que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raiz real. Ejercicio: Sea f : [a, b] → [a, b] continua en [a, b] con f (a) ≤ a y f (b) ≥ b. Demuestre que existe x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = x0 .

CONTINUIDAD

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Definici´n 1.4. o a) Si f est´ definida en un conjunto A decimos que f a est´ acotada superiormente en A si existe M ∈ R tal que f (x) ≤ M a para todox ∈ A. b) Si f est´ definida en un conjunto A decimos que f est´ acotada a a inferiormente en A si existe M ∈ R tal que f (x) ≥ M para todo x ∈ A. c) Si f est´ definida en un conjunto A decimos que f est´ acotada en a a A si existe M ≥ 0 tal que |f (x)| ≤ M para todo x ∈ A. El ejercicio siguiente ser´ usado en la demostraci´n del teorema que sigue. a o Ejercicio: Demuestre: a) Si f es continua en d,entonces existe δ > 0 tal que f est´ acotada a en (d − δ, d + δ). b) Si f es continua por la izquierda en d, entonces existe δ > 0 tal que f est´ acotada en (d − δ, d]. a c) Si f es continua por la derecha en d, entonces existe δ > 0 tal que f est´ acotada en [d, d + δ). a Teorema 1.4. Sea f continua en [a, b]. Entonces f es acotada en [a, b]. Demostraci´n: o Haremos la demostraci´n por...