Control 1 Cálculo Numérico

Pauta Control 1 - C´
alculo Num´
erico
Carrera: Ing. Civil Metal´
urgica

Problema I
1.1. Usando la bisecci´on, con la ecuaci´on s(x) = e−x − 14 , se debe obtener alguna informaci´on sobre elintervalo donde pueda estar la soluci´on.
Valuando en x = 1, se tiene s(1) = e−1 − 14 = 0.117879441 > 0
Valuando en x = −2 se tiene s(−2) = e2 − 14 = 7.139056099 > 0
Valuando en x = 2 se tiene s(2) = e−2 −14 = −0.114664716 < 0
⇒ I = [1, 2]
Se recuerda que estos valores son arbitrarios. Cualquier otro intervalo que cumpla con
s(a) · s(b) < 0 es v´alido para asegurar que existe al menos una ra´ız en dichointervalo.
(Vale 0.5 pts)
Se determina el punto medio, con lo que se tiene
p1 =

1+2
= 1.5
2

Valuando p1 = 1.5, se obtiene
s(1.5) = −0.026869839 < 0
ahora I = [1, 1.5].
Se determina el punto mediode I, y se obtiene
p2 =

1 + 1.5
= 1.25
2

Valuando p2 = 1.25, se obtiene
s(1.25) = 0.036504796 > 0
luego I = [1.25, 1.5].
y finalmente se calcula
p3 =

1.25 + 1.5
= 1.375
2

(Vale 0.5 pts)
1.2.Refinando esta aproximaci´on con el Algoritmo Propuesto se tiene, con x0 = 1.375:
xn+1
con lo que

2(e−xn − 41 )(−e−xn )
= xn −
2[e−2xn ] − (e−xn − 14 )(e−xn )
−0.001435924511
0.1271377602
x1 = 1.386294241x1 = 1.375 −

Luego
|x1 − x0 | = 0.011294241 > 10−2

el proceso sigue...
2(e−x1 − 14 )(−e−x1 )
x2 = 1.386294241 −
2[e−2x1 ] − (e−x1 − 41 )(e−x1 )
x2 = 1.386294361
y se tiene la condici´on
|x2 − x1 |= 0.00000000120064 < 10−2
por lo tanto, el proceso se detiene y la aproximaci´on de la ra´ız obtenida es:
x = 1.386294361
(1.2 vale 1 pto)
1.3. SI, la recomendaci´on es implementar ambos m´etodos,primero la bisecci´on y luego
Halley, ya que la bisecci´on se acerca a la soluci´on siempre, pero lento, asi que, cuando se
tenga certeza de estar cerca, se acelera el proceso con el otro m´etodor´apido propuesto
(vale 1 pto).
Problema II
2.1. Se verifica la soluci´on propuesta (t = 1.8, y = 1.9), y se tiene:
y = 0.25e1.8 = 1.512411866
y = 3−1.8 + 2 = 2.138414549
si t=1.8 fuera soluci´on,...