control moderno

El observador en un
sistema de lazo cerrado

Aquí diseñaremos un observador y utilizaremos los estados
estimados para la realimentación de la matriz de ganancia
El proceso de diseño tiene dosetapas
1.Determinación de la matriz de ganancia de realimentación K
para producir la ecuación característica deseada.
2.Determinación de la matriz de ganancia del observador Ke
para obtener laecuación característica deseada del
observador

Sistema de control mediante la realimentación del estado observado

El sistema debe de ser de estado completamente controlable y
observable.Considere el sistema definido por.

&
x = Ax + Bu
y = Cx

Ec. 1.1

Para el control mediante la realimentación basado en el estado
~
observado x

u = −K ~
x
Con este control la ecuación deestado queda

&
x = Ax − BK ~ = ( A − BK )x + BK ( x − ~ )
x
x

La diferencia entre el estado real
se definió como el error e(t )

x
x(t ) y el estado observado ~ (t )

e(t ) = x(t ) − ~ (t)
x

&
x = ( A − BK )x + BKe
La ecuación del error del observador se obtuvo mediante la
ecuación

&
e = ( A − K eC )e

Combinando las ecuaciones

&
⎡ x ⎤ ⎡ A − BK
⎢e ⎥ = ⎢ 0
⎣ &⎦ ⎣⎤ ⎡ x⎤
A − K eC ⎥ ⎢ e ⎥
⎦⎣ ⎦
BK

La ecuación describe la dinámica del sistema de control con
realimentación
del
estado
observado.
La
ecuación
característica. La ecuación característica delsistema es

sI − A + BK

− BK

0

sI − A + K e C

=0

sI − A + BK sI − A + K e C = 0
Esto significa que el diseño de ubicación de polos y el diseño
del observador, son independientesentre si. Se pueden diseñar
por separado y combinar para formar el sistema de control con
realimentación de estado observado.

Ejemplo 1
Considere el caso del diseño de un sistema regulador para lasiguiente planta

&
x = Ax + Bu
y = Cx
Donde

1⎤
⎡ 0
A=⎢
20.6 0⎥
⎣
⎦

⎡0 ⎤
B = ⎢ ⎥ C = [1 0]
⎣1 ⎦

Diseñe un sistema de modo que los polos de lazo cerrado
(valores propios)...