control moderno

FORMAS CANÓNICAS DE
REPRESENTACIÓN
Ó
EN VARIABLES DE ESTADO

Existen infinitas formas de representar los sistemas lineales e
invariantes en el tiempo y que sean SISO por variables de
estado, formas a las que se le llaman canónica (formas
estandarizadas) que nos serán útiles en el momento de
analizar y diseñar el control para el sistema. No existe
solamente
l
t una sola
l forma
fcanónica,
ó i
sino
i
varias
i
y cada
d una
útil para el análisis de una determinada característica del
sistema.

Formas canónicas:
¾ Forma canónica controlable
¾ Forma canónica observable
¾ Forma canónica diagonal o de Jordan

Representaciones en el espacio de estado de sistemas
definidos por su función de transferencia.
Existen muchas técnicas para obtener representaciones en elespacio de estado de sistemas definidos por su F.T.
Representaciones en el espacio de estado en formas
canónicas.
Considérese un sistema definido mediante:

(n )

(n −1)

(n )

(n −1)

y + a1 y + L + a n −1 y& + a n y = b0 u + b1 u + L + bn −1u& + bn u

donde:

u = entrada

y = salida

Esta ecuación también puede escribirse como:

Y (s ) b0 s n + b1s n −1 + L + bn −1s +bn
= n
U (s ) s + a1s n −1 + L + a n −1s + a n

Forma Canónica Controlable:
⎡ x&1 ⎤ ⎡ 0
⎢ x& ⎥ ⎢ 0
⎢ 2 ⎥ ⎢
⎢ M ⎥=⎢ M
⎢
⎥ ⎢
&
⎢ xn −1 ⎥ ⎢ 0
⎢
⎥ ⎢
⎣ x& n ⎦ ⎣− a n

1
0

0
1

M

M

0
− a n −1

0
− an −2

0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢0⎥⎥
M ⎥ ⎢ M ⎥ + ⎢ M ⎥u
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
L 1 ⎥ ⎢ xn −1 ⎥ ⎢0⎥
L − a1 ⎥⎦ ⎣⎢ xn ⎥⎦ ⎣⎢1⎥⎦
L
L

y = [bn − an b0

bn −1 − a n −1b0

⎡ x1⎤
⎢x ⎥
L b1 − a1b0 ]⎢ 2 ⎥ + [b0 ]u
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦

La forma canónica controlable es importante cuando se
analiza el método de asignación de polos
polos, para el diseño de
sistemas de control.

Forma Canónica Observable:
⎡ x&1 ⎤ ⎡0 0 L 0 − a n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ bn − a n b0 ⎤
⎢ x& ⎥ ⎢1 0 L 0 − a ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢b − a b ⎥
n −1 0 ⎥
n −1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ n −1
⎢ 2⎥ = ⎢
+
u
⎢ M ⎥ ⎢M M
⎥
M
M
M ⎥⎢ M ⎥⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
&
⎣ xn ⎦ ⎣0 0 L 1 − a1 ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣ b1 − a1b0 ⎦
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
y = [0 0 L 1]⎢ 2 ⎥ + [b0 ]u
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦

Forma Canónica Diagonal:
Considérese el sistema representado por la F.T.
F T siguiente.
siguiente Se
considera el caso en el que el polinomio del denominador solo
contiene raíces distintas.

Y (s ) b0 s n + b1s n −1 + L + bn −1s + bn
=
(s + p1 )(s + p2 )L(s + pn )
U (s )
El desarrollo en fracciones parciales sería:

cn
c1
c2
Y (s )
= b0 +
+
+L+
U (s )
s + p1 s + p 2
s + pn

La forma Canónica diagonal está dada por:

⎡ x&1 ⎤ ⎡− p1
⎢ x& ⎥ ⎢ 0
⎢ 2⎥ = ⎢
⎢M⎥ ⎢ 0
⎢ ⎥ ⎢
⎣ x& n ⎦ ⎣ 0

y = [c1 c2

0
− p2
0
0

0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢1⎥⎥
+ u
O
0 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 − p n ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣1⎦
0
0

⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
Lcn ]⎢ 2 ⎥ + [b0 ]u
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦

Forma Canónica de Jordan:
Ahora
o a se co
considera
s de a e
el caso e
en e
el que e
el po
polinomio
o o de la
a F.T.
contiene raíces múltiples. En este caso la forma canónica
diagonal debe modificarse a la forma canónica de Jordan.
Supóngase, por ejemplo que todos los pi , excepto los tres
primeros, son diferentes entre si, o sea, p1 = p 2 =p3 . Para este
caso la forma factorizada de la F.T. sería.

b0 s n + b1s n −11 + L + bn −1s + bn
Y (s )
=
U (s ) (s + p1 )3 (s + p4 )(s + p5 )L (s + pn )
El desarrollo en fracciones parciales sería:

c3
cn
c1
c2
c4
Y (s )
= b0 +
+
+
+
+L+
3
2
U (s )
s + pn
(s + p1 ) (s + p1 ) (s + p1 ) s + p4

⎡ x&1 ⎤ ⎡− p1
⎢ x& ⎥ ⎢ 0
⎢ 2⎥ ⎢
⎢ x&3 ⎥ ⎢ 0
⎢ ⎥=⎢
⎢ x& 4 ⎥ ⎢ 0
⎢M⎥ ⎢ M⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ x& n ⎥⎦ ⎣⎢ 0

y = [c1 c2

1

0

0

− p1

L

1

0

0
0
M

− p1

L

0

0

0
M

L
0
− p4 L
M
O

0

⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
L cn ]⎢ 2 ⎥ + [b0 ]u
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦

0

0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢0⎥⎥
0 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢1⎥
⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥u
0 ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢1⎥
M ⎥⎢ M ⎥ ⎢M ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− p n ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎦⎥ ⎣⎢1⎥⎦

Forma Canónica Controlable:
Obtención
Obt
ió de
d...