Control Robusto

Control Robusto
Programa de Maestría

Dr. Omar Jacobo Santos Sánchez (UAEH),

,

Univ. Pol. de Aguascalientes

Septiembre de 2010

OSS. (Univ. Pol. de Aguascalientes)

Control Robusto

Septiembre de 2010

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Sistemas con retardos y el PID robusto
Los sistemas con retardos se presentan debido a un tiempo de transporte
en una variable o procesamiento de datos en un lazode control. Uno de
los métodos mas populares para sintonización de PID´ s y para la obtención
rápida de un modelo es el Método Ziegler - Nichols (lazo abierto)

Modelo aproximado:
Ke sh
[PV ] (s )
=
u (s )
τs + 1

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Por ejemplo (sistema térmico real)

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Sistemas con retardos

Observe que el modelo primer orden anterior presenta un retardo en la
entrada. Ahora el algoritmo de un control PID es:
u ( t ) = Kp

e (t ) +

1
Ti

Z t
0

e (t )dt + Td

de (t )
dt

Controladores PID comerciales: Bailey Net 90, Fishers controls,
Foxboro, Honeywell, Moore Products, Taylor, Toshiba, Yaskawa,etc.
Como obtener Kp , Ti y Td ? !Sintonización del controlador.

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En el dominio de Laplace
u ( s ) = Kp

1+

1
+ Td s
Ti s

e (s )

Cuando se cierra el lazo con un control con una planta primer orden con
retardos
sTi + 1 + Ti Td s 2 KKp e sh
[PV ] (s )
=
Ti s (τs + 1) + (sTi + 1 + Ti Td s 2 )KKp e
[SP ] (s )

sh

El grado de la ecuación característica es 2:
Ti s (τs + 1) + sTi + 1 + Ti Td s 2 KKp e

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sh

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Según el Teorema fundamental del álgebra la ecuación debería tener 2
raíces sin embargo, esto no es así. Considere solo un control proporcional y
el valor s = σ + j ω, raíz de laecuación característica:
τ (σ + j ω ) + 1 + KKp e

( σ +j ω )h

=0

:de la identidad de Euler se tiene que
τσ + j τω + 1 + KKp e

σh

(cos ωh

j sin ωh) = 0

se iguala la parte real y la imaginaria a cero:
τσ + 1 + KKp e

σh

cos ωh = 0

KKp e

σh

sin ωh = 0

τω

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Cuantos crucespor cero tiene el seno y el coseno? In…nitos cruces
La ecuación característica
τs + 1 + KKp e

sh

=0

tiene in…nitas posibilidades de anularse, es decir, tiene un número
in…nito de polos. El responsable de este fenómeno es el término e
es decir el retraso en el control.

sh ,

Surgen dos problemas: Si tenemos …jos los parámetros de la planta
(K y τ) que valores para Kp hacen que elsistema sea estable?
(estabilidad interna).
Dado un valor de Kp , que tanto pueden variar los parámetros de la
planta antes de que el sistema sea inestable?. (Sintonización robusta)

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Método de D-particiones (Neimark)
Abordaremos primero el primer problema, es decir, el problema de
estabilidad internaen lazo cerrado. Para ello considere que el teorema
de continuidad de las raíces de una ecuación polinomial. Este teorema
establece que las raíces de ecuación polinomial varían continuamente
ante variaciones en los parámetros de la ecuación polinomial.
Como consecuencia cuando se varía uno o mas parámetros
contínuamente, las raíces de la ecuación también varían
contínuamente, por lo tanto,antes de que cruce el eje imaginario y la
ecuación sea inestable deben pasar por el eje imaginario. Esto último
da pie a dos posibilidades:

= 0
s = jω
s

Estas dos posibilidades de…nen las dos fronteras de estabilidad del o
los parámetros que están variando.
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En nuestro caso se tiene que la...