Control

PS2316. Estimadores de estado
Williams Colmenares M. Universidad Sim´n Bol´ o ıvar Departamento de Procesos y Sistemas 11 de marzo de 2006

1.

Introducci´n o

En el enfoque que utiliza los estados del sistema para control y que com´nmente denominamos u de realimentaci´n de estados se realiza, de entrada, una suposici´n y es que todos los estados o o est´n disponibles para poder serrealimentados. a ¿Qu´ podemos hacer cuando queremos utilizar este enfoque de realimentaci´n de estados pero e o no todos los estados est´n disponibles para su realimentaci´n?. Esta situaci´n puede presentarse a o o con mucha frecuencia, ello porque o bien no es posible, o rentable, hacer una medici´n de o algunos de los estados o bien porque el modelo que se tiene del sistema fue obtenido de pruebasexperimentales de entrada - salida del sistema y poco o nada se sabe de las variables internas. o En este caso podemos implantar un sistema que, en funci´n de las entradas y salidas del sistema real haga una estimaci´n de los estados (o variables internas) del sistema. A ese sistema o paralelo lo denominaremos Observador o Estimados de Estados. Quiz´s el m´s famoso de los observadores es elObservador de Luenberger que describiremos a a en la pr´xima secci´n. o o Hay que se˜alar que la funci´n principal de un observador es la de estimar los estados y que n o se supone que hay un conocimiento perfecto del sistema, esto es, que el modelo que se tiene del sistema refleja perfectamente la relaci´n entre la entrada y la salida del sistema. El problema o es que, no teniendo acceso a todos losestados, no es posible conocer todas sus condiciones iniciales. La funci´n del observador es, entonces, ir reduciendo, a medida que avanza el tiempo, o la diferencia entre los estados reales y los estados estimados producto de esa diferencia en las condiciones iniciales.

2.

El observador de Luenberger
Consideremos un sistema modelado en variables de estado representado por las ecuaciones: x(t) =Ax(t) + Bu(t) ˙ y(t) = Cx(t), x(0) = x0 = 0 (1)

en el que x(t) ∈ Rn , el par (u(t), y(t)) es escalar y las matrices (A, B, C) son perfectamente conocidas. 1

El estimador de estados est´ compuesto por una reproducci´n del sistema m´s un t´rmino a o a e adicional de correcci´n. La arquitectura del observador es: o ˙ ξ(t) = Aξ(t) + Bu(t) + L(y(t) − Cξ(t)) (2)

Observe que el observadorreproduce la entrada y la salida del sistema y adem´s corrige la a ecuaci´n din´mica con un t´rmino que es proporcional al error entre la salida del sistema real o a e (y(t)) y la salida estimada (Cξ(t)). Definiremos el error entre los estados reales del sistema y los estimados como: e(t) = x(t) − ξ(t). Entonces, la din´mica del error (e(t)) ser´: a ˙ a ˙ e(t) = x(t) − ξ(t) = A(x(t) − ξ(t)) − LC(x(t) −ξ(t)) = (A − LC)e(t) ˙ ˙ y, entonces, ξ(t) → x(t) si los autovalores de la matriz A − LC son todos estables , i.e., est´n en a el semiplano izquierdo. Ello porque la soluci´n de la ecuaci´n x(t) = (A − LC)e(t) es: o o ˙ e(t) = e(A−LC)t e0 = e(A−LC)t (x(0) − ξ(0)) = e(A−LC)t x0 De modo que, si los autovalores de A − LC tienen todos partes reales negativas, el error (e(t)) tiende a cero sin importarsu condici´n inicial. Lo que quiere decir que, el observador o de Luenberger, bajo la suposici´n de conocimiento perfecto del sistema, a medida que pasa el o tiempo, mejora asint´ticamente la estimaci´n de los estados. o o Remarcamos que, tal como estructurado el observador propuesto, el problema de dise˜o de n un estimador de estados se reduce a la determinaci´n de una ganancia del observador Ltal que o los autovalores de la matriz A − LC est´n todos en el semiplano izquierdo (i.e., que todos tengan e parte real negativa), en ese sentido, el problema de dise˜o de un observador es equivalente a n aquel de localizaci´n de polos por realimentaci´n de estados y, por ejemplo, podemos usar los o o mismos comandos de MATLAB , a saber, place o acker, para calcular L. En este caso AT juega el...