control

Tarea 7: Diseño de sistemas de control en el
espacio de estados.
Marcos S. López Salas
October 1, 2014

B.12.3
Sea el sistema definido por
x ˙=Ax + Bu
donde



0
A= 0
−1

1
0
−5
 
0
0
1 , B =  1 
−6
1

Usando el control mediante realimentacion del estado u = −Kx, se desea
tener los polos en lazo cerrado en s = −s ± j4, s = −10. Determine la matriz
deganancias de realimentación del estado K.

Solución
Primero se necesita comprobar la matriz de controlabilidad del sistema. Como
la matriz de controlabilidad M está dada por

  

0
1
0
0
10
1  1  =  1 
AB =  0
−1 −5 −6
1
−11


0
A2 B =  0
−1

1
0
−5


 

0
1
1
1   1  =  −11 
−6
−11
60


0
M = [B AB A2 B] =  1
1
1

1
1
−11


1−11 
60

|M| = −83
Así, el sistema es de estado completamente controlable y es posible la colocación arbitraria de los polos.

Métod 1.


s
|sI − A| =  0
0

 
0
0
0 − 0
s−1

0
s
0

 
0
s
1 = 0
−6
1

1
0
−5

−1
s
5


0
−1 
s+6

= s3 + 6s2 5s + 1
por lo tanto
a1 = 6, a2 = 5 a3 = 1
La ecuacion característica deseada es
(s + 2 − j4)(s + 2+ j4)(s + 10) = 0
s3 + 2s2 − 4s2 + 10s2 + 20s − j4(10s) + 2s2 + 4s − j4(2s) + 20s + 40
−j4(20) + j4s2 + j4(j4s) + 4(10s) + j4(20) − (j40)(j4) = 0
s3 + 14s2 + 60 + 200 = 0
Así
α1 = 14, α2 = 60, α3= 200



a2
W =  a1
1


0
T= 1
1

1
1
−11

T = MW
 
a1 1
5
1 0 = 6
0 0
1


1
5
−11   6
60
1

6
1
0

6
1
0


1
0 
0

 
1
7
0 = 0
0−1

K = |α3 − a3 α2 − a2 α1 − a1 | T−1

0.1446 −0.0120
K = [200 − 1 60 − 5 14 − 6]  −0.0120 0.0843
0.0843
0.4096
K=

28.7831

5.5181
2

2.4819


1 0
7 1 
−5 1


0.0120−0.0843 
0.5904

Método 2
Definiendo la matriz de ganancias de realimentación del estado Kdeseada como
K=

k1

k2

k3

e igualando |sI − A + BK|con la ecuación carácteristica deseada,...