CONTROL1 2007 2SEM

APUNTE PREPARADO PARA EL CURSO DE ÁLGEBRA
PROFESOR RESPONSABLE:
CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE
PÁGINA 1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
JUEVES 06 DE SEPTIEMBRE DE 2007:
14:15 - 15:35
CONTROL N° 1: ÁLGEBRA (MAT-601)
NOMBRE_______________________________SECCIÓN__11__
PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__
(2.1)(2.2)

TOTAL

PUNTAJE
PREGUNTA 2:
(2.1)
a)
Sean Y œ ˜B − ‘ÎB   !™; conjunto universal,
\ œ ˜B − Y ÎB  )!™à ] œ ˜B − Y Î$! Ÿ B Ÿ "!!™ y
^ œ ˜B − Y ÎB  &!™
Calcule y simplifique Ð]  ^ Ñ‘ ˜ \ - Þ
b)

Demuestre que:
Q ‚ ÐR  N Ñ œ ÐQ ‚ R Ñ  ÐQ ‚ N Ñ

(2.2) Verifique por Inducción Matemática si la siguiente proposición
es verdadera
T Ð8Ñ À "#  $#  &#  ÞÞÞ  Ð# 8  "Ñ# œ 8Ð#8"ÑÐ#8"Ñ
à a8 − 
$PONDERACIONES:

(2.1) = 08 (2.2) = 07
PUNTOS.
TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL
DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA
UNA DE SUS RESPUESTAS!!

COORDINACIÓN DE ÁLGEBRA (MAT 601). PLAN COMÚN DE INGENIERÍA.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE
PÁGINA 2

PAUTA DE CORRECCIÓN
SECCIÓN 11
PREGUNTA 2:
(2.1)
a)
SOLUCIÓN:
1º)
\ À ! ß )!Ñ à ] À $! ß "!!‘ à ^ À Ð&! ß  _Ñ
2º)
]  ^ À $! ß &!‘ "
à
\ - À )! ß  _Ñ
Ð]  ^ Ñ‘ ˜ \ - œ
3º)
œ $! ß &!‘  )! ß  _Ñ  $! ß &!‘  )! ß  _Ñ
œ $! ß &!‘  )! ß  _Ñ
b)
DEMOSTRACIÓN:
ÐBß CÑ − Q ‚ ÐR  N Ñ Í B − Q • C − ÐR  N Ñ
Í
B − Q • ÐC − R • C − N Ñ
Í ÐB − Q • C −R Ñ • ÐB − Q • C − N Ñ
Í ÐBß CÑ − ÐQ ‚ R Ñ • ÐBß CÑ − ÐQ ‚ N Ñ
Í
ÐBß CÑ − ÐQ ‚ R Ñ  ÐQ ‚ N Ñ

"
"
"
"
"
"
"

(2.2) SOLUCIÓN:

1º)

Verificar que: T Ð8Ñ es verdadera para 8 œ " à #
"Ð#"ÑÐ#"Ñ
T Ð"Ñ À "# œ
œ"
T Ð"Ñ es verdadera.
$

"

#Ð%"ÑÐ%"Ñ

2º)

3º)

T Ð#Ñ À "#  $# œ
œ "!
T Ð#Ñ es verdadera.
$
HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN:
Se supone T Ð8Ñ verdadera para 8 œ 5 FIJO; es decir:
T Ð5Ñ À "#  $#  &# ÞÞÞ  Ð# 5  "Ñ# œ 5Ð#5 "ÑÐ#5"Ñ
$

"

se acepta o supone verdadera; a 5  # ß 5 FIJO.

"

TESIS DE INDUCCIÓN:

Por demostrar que T Ð8Ñ es verdadera para 8 œ 5  " ; es decir:
T Ð5  "Ñ À "#  $#  ÞÞÞ  Ð# 5  "Ñ#  Ð# 5  "Ñ# œ Ð5"ÑÐ#5 "ÑÐ#5$Ñ
"
$
En efecto:
a)
Se sabe por la hipótesis de inducción que:
#
T Ð5Ñ À "  $#  &#  ÞÞÞ  Ð# 5  "Ñ# œ 5Ð#5 "ÑÐ#5"Ñ
Î  Ð# 5  "Ñ#
"
$
T Ð5  "ÑÀ

"#  ÞÞÞ  Ð# 5  "Ñ#  Ð# 5  "Ñ# œ
œ
œ

4º)

5Ð#5 "ÑÐ#5"Ñ
$

Ð#5"Ñ
’5Ð#5
$

 Ð# 5  "Ñ#

 "Ñ  $Ð# 5  "Ñ“

Ð#5"Ñ
’#5 #  & 5
$
Ð5"ÑÐ#5 "ÑÐ#5$Ñ
$

 $“

œ
b)
Por lo tanto:
T Ð5  "Ñ es verdadero.
Finalmente:
T Ð8Ñ es verdadera a 8 − 

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"
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15:45 - 17:05
CONTROL N° 1: ÁLGEBRA (MAT-601)
NOMBRE_______________________________SECCIÓN__12__PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__
(2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE
PREGUNTA 2:
(2.1)
a)
Demuestre que:
E  ÐF  G Ñ œ ÐE  FÑ  ÐE  G Ñ
b)
3Ñ
33 Ñ

Dada la relación V œ ˜Ð: ß ;Ñ − ™# Î:#  ; #  %™.
Escriba V por extensión y el gráfico de V .
Determine:
H97 V à V " à V/- V "

(2.2) Verifique por Inducción Matemática si la siguiente proposición
es verdadera
T Ð8Ñ À
&# 8  " es múltiplo de #% à a 8 −
PONDERACIONES:

(2.1) = 08 (2.2) = 07
PUNTOS.
TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL
DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA
UNA DE SUS RESPUESTAS!!

COORDINACIÓN DE ÁLGEBRA (MAT 601). PLAN COMÚN DE INGENIERÍA.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE
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