Convección libre en una esfera

9.H2 del Bird
Una esfera caliente de radio R está suspendida en una gran masa de fluido en reposo. Se desea estudiar la conducción de calor en el fluido que rodea a la esfera. En este problema sesupone que los efectos por la convección libre son despreciables.
a) Plantear la ecuación diferencial que describe T del fluido circundante en función de r, la distancia desde el centro de laesfera. La conductividad calorífica K del fluido es constante.
b) Integrar la ecuación diferencial que describe el centro de la esfera y utilizar las siguientes condiciones limite.

C.F.1para r = R T = TR
C.F.2 para r = ∞ T = T∞
c) obtener una ecuación para ladensidad de flujo de calor en la superficie a partir del perfil de Temperatura. Igualar a la densidad de flujo de calor, expresada como “ley del enfriamiento de Newton” y demostrar que el coeficienteadimensional de transmisión de calor (numero de Nusselt) viene dado por:
Nu= hDk=2
Siendo D el diámetro de la esfera. Este resultado es muy conocido y corresponde al valor limite de Un para latransmisión de calor desde esferas con pequeños valores de los numero de Reynols o Grashof de esferas pequeñas.

Solución
1) Suposiciones
* Flux en sentido de r
* Flux unidireccional* P cte.
* TR>T∞
* As variable
* K cte.
2) Sistema de coordenadas: cilíndricas
3) Elemento Diferencial de Volumen

Ctes. De Volumen 4πr2∆r
4) BalanceQr4πr2∆r|z-Qr4πr2∆r|z+∆z=0

Se divide la expresión entre las ctes. de volumen 4πr2∆r
Qrr2|z-Qrr2|z+∆z∆r=0

Sacamos el límite
lim∆r→0Qrr2|z-Qrr2|z+∆z∆r

-δ(Qrr2)δr=0
Integrando por separación de variables
-δQrr2=δrQr=c1r2
Igualamos con la ley de Fourier
Qr=-kdTdr
-kdTdr=c1r2
Integrando nuevamente por separación de variables
dT=c1-kdrr2
Donde c1-k=c2
dT=c2drr2
T=c2r+c3
Sustituimos las...