Convergencia

Definición

Una sucesión de elementos \{x_n\}\, de un espacio métrico (M,d\,) converge a un elemento x\in M si para todo número \varepsilon> 0, existe un entero positivo N \, (que depende de \varepsilon) tal que

(1) n\ge N \quad \Longrightarrow \quad d(x_n,x) < \varepsilon.

En tal caso, se acostumbra escribir

\lim_{n \to \infty} x_n = x

o también

x_n\\stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty

o simplemente

x_n \to x.

Intuitivamente, esto significa que los elementos x_n\, de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a x\, si n\, es suficientemente grande, ya que d(x_n,x\,) determina la distancia entre x_n\, y x\,. A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia unúnico límite.

La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno. En el caso de un espacio normado (E,\Vert \cdot\Vert), la norma \Vert \cdot\Vert induce la métrica d(x,y):=\Vert y - x\Vert para cada x,y\in E; en el caso de un espacio con producto interno (E,\langle \cdot, \cdot\rangle), el producto interno \langle \cdot, \cdot\rangleinduce la norma \Vert x\Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle} para cada x\in E.
[editar] Ejemplos

Sucesiones en \mathbb R ó \mathbb C

El conjunto de los números reales \mathbb R al igual que el conjunto de los números complejos \mathbb C se constituyen en un espacio métrico por medio del valor absoluto: para cada par de elementos x,\, y en \mathbb R ó \mathbb C, la función d(x,y):=\verty-x\vert determina una métrica.

Por tanto, de acuerdo a (1), una sucesión \{x_n\}\, en M = \mathbb R converge a un x\in \mathbb R si para todo \varepsilon>0, existe un entero N\, tal que

n\ge N \quad \Longrightarrow \quad |x_n-x| < \varepsilon.

Como ejemplos podemos considerar:

La sucesión constante definida por x_n:=c\, para todo n\,, donde c\in\mathbb R. Esta sucesiónconverge a c\, pues

|x_n-c|=|c-c|=0 < \varepsilon

para todo n.\,

La sucesión x_n:=1/n.\, Esta sucesión converge a cero, pues por la propiedad arquimediana de los números reales, para cada \varepsilon>0, exite número natural N\, tal que N \varepsilon >1 y por tanto, si n>N,\, 1/n0,\,

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^p}=0\, , \quad \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{p}=1\,, \quad\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1

Si |a|N \Longrightarrow d(x_n,x_m) < \varepsilon.

Intuitivamente, esto signfica que la distancia entre los elementos x_n\, y x_m\, de la sucesión se hace arbritrariamente pequeña si n\, y m\, son lo suficientemente grandes.

Si \{x_n\}\, es una sucesión convergente, existe un x\in M tal que x_n\to x\, y por la desigualdad triangular,

d(x_n,x_m)\le d(x_n,x) + d(x,x_m) \to 0.

Por lo tanto, toda sucesión convergente es de Cauchy. Sin embargo, el enunciado recíproco no siempre es válido y no toda sucesión de Cauchy es convergente: la sucesión de números racionales \{1, \tfrac{3}{2}, \tfrac{17}{12},\ldots\}\, definida por x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{2}{x_n}}{2} para n\ge 2 con x_1=1\, es una sucesión de Cauchy en \mathbb Q que no esconvergente, pues su límite es el número irracional \sqrt{2}.

Un espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy es convergente se denomina completo. Los racionales son un ejemplo de un espacio que no es completo mientras que \mathbb R y \mathbb C constituyen ejemplos de espacios métricos completos. Por consiguiente, una condición suficiente y necesaria para que una sucesión \{x_n\}\, de númerosreales (o complejos) converja, viene dada por (4), con d(x_n,x_m)=\vert x_m - x_n\vert. En particular, cuando la condición se aplica a la sucesión de sumas parciales (2),

d(s_n,s_m) = \left\vert s_n - s_m \right\vert = \left\vert\sum_{k=m}^n a_k \right\vert

y se obtiene el criterio de convergencia de Cauchy: una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k es convergente si, y sólo si, para todo...