convergencias de metodos iterativos para solucion de ecuaciones no lineales

1.

Método de bisección

El método de Bisección para la resolución de la ecuación f (x) = 0 se basa en el teorema de
Bolzano que nos asegura la existencia de al menos una raíz de una función f (x) en un cierto
intervalo [a, b], bajo ciertas condiciones.
Teorema de Bolzano: Sea f : [a, b] → R una función continua en [a, b] tal que f (a)f (b) < 0.
Entonces existe x∗ ∈ (a, b) tal que f (x∗ )= 0.
Suponga que el intervalo entre x = a y x = b denotado por [a, b] o equivalentemente a x b
tiene una sola raiz, como se muestra en la imagen. El método de bisección se basa en el hecho de
que, para que un intervalo [a, b] tenga una raíz, basta que los signos de f (x) en los dos extremos
sean opuestos, o bien que f (a) o f (b) se anulen; es decir, f (a)f (c) 0.

Convergencia del método:Teorema: Sea f ∈ C[a, b] y f (a)f (b) < 0. El método descrito en el algoritmo de bisección
genera una sucesión {xn } que converge a un cero x∗ de f y
|xn − x∗ |

b−a
2n

Orden de convergencia: Existe un x∗ ∈ [a, b] tal que f (x∗ ) = 0. Partiendo del algoritmo y
mediante inducción se puede ver que:
b2 − a2 =

b3 − a3 =

bn − an = ... =

b1 − a 1
2n−1

b1 − a1
2

b2 − a2
b1 −a1
=
2
22
bn+1 − an+1 =

o
1

1
(bn − an )
2

Como x∗ ∈ [an , xn ] o x∗ ∈ [xn , bn ] tenemos que:
|xn − x∗ |

an − xn = xn − bn =

1
(an − bn )
2

Combinando las 2 ecuaciones tenemos que:
|xn − x∗ |

1
(b1 − a1 ), n
2n−1

1

El error se calcula como:
En+1 = xn+1 − x∗
E n = xn − x∗
Lo que implica que
En+1 = xn+1 − x∗ =
En = xn − x∗ =

1
|b1 − a1 |
2n−1

1|b1 − a1 |
2n

Por definición se tiene que:
|En+1 |
|xn+1 − x∗ |
= lim
p
n→∞ |En |
n→∞ |xn − x∗ |
lim

1
2

Es decir, el metodo converge linealmente, p = 1.

2.

Método de Regula Falsi

En el método de regula falsi o falsa posición, a diferencia del metodo de bisección, sí se tiene
en cuenta los valores de f (xn ) aunque de manera simple. Supongamos que en el intervalo
[a,b] := [a0 , b0 ] se cumple que, como el metodo de bisección, f (a0 )f (b0 ) < 0, lo cual garantiza la localización de un cero x : a0 < x < b0 .

2

Utilizando la ecuación de la recta para los puntos [a, f (a)] y [x, 0] nos queda como:
−f (a) = m(x − a)

(1)

La pendiente para esta ecuación es:
m=

f (b) − f (a)
b−a

(2)

Reemplazando (2) en (1)
−f (a) =

f (b) − f (a)
(x − a)b−a

¨
¨
af (a) − bf (b)
af (b) − ¨¨ + ¨¨ − bf (a)
af (a) af (a)
=
f (b) − f (a)
f (b) − f (a)

x=a+

x=

af (b) − bf (a)
f (b) − f (a)

(3)

De modo que si f (x0 ) = 0 entonces se procede, como el método de bisección, a determinar si x
∈ (a0 , x0 ) o x ∈ (x0 , b0 ). Una ves localizado x, renombramos los extremos del nuevo intervalo
donde se encuentra x como [a1 , b1 ] yrepetimos el procedimiento. De esta forma generamos una
sucesión (xn )n , convergente a x, definida en forma recurrente por:
xn =

af (b) − bf (a)
f (b) − f (a)

o visto de otra manera esta ecuación nos queda como:
xn+1 =

an f (bn ) − bn f ()an
, n = 0(1)...,
f (bn ) − f (an )

Convergencia del método:
Teorema: Sea f dos veces continuamente diferenciable en [a, b] con x∗ la única raizen [a, b].
Suponiendo que f (a)f (b) < 0, f (x∗ ) = 0 y f no cambia de signo en [a, b].
Donde el error se calcula como:
En+1 = xn+1 − x∗
E n = xn − x∗

En+1 =

En+1 =

an f (bn ) − bn f (an )
− x∗
f (bn ) − f (an )

an f (bn ) − bn f (an ) − x∗ f (bn ) + x∗ f (an )
f (bn ) − f (an )
3

bn := bn
an := xn

En+1 =

f (bn ) (xn − x∗ ) − f (xn ) (bn − x∗ )
f (bn ) − f (xn )En+1 =

f (bn )En − f (xn ) (bn − x∗ )
f (bn ) − f (xn )

(4)

Hacemos la expanción de Taylor alrededor de x∗
∞

f (xn ) =

n

f n (x∗ ) (xn x∗ )
n!
n=0

2
(xn − x∗ )
B
¨o
f (xn ) = ¨¨ ) + (xn − x∗ ) f (x∗ ) +
f (x∗
f (x∗ ) + ...
2

f (xn ) = En f (x∗ ) +

2
En
f (x∗ ) + ...
2

(5)

Para f (bn ) nos queda:
2

f (bn ) = (bn − x∗ ) f (x∗ ) +

(bn − x∗ )
f...