Convexidad

ECONOMÍA APLICADA III

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TEMA 1: CONVEXIDAD.

1. CONJUNTOS CONVEXOS. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES.
2. CONVEXOS NOTABLES DE R n .
3. FUNCIONES CONVEXAS Y FUNCIONES CÓNCAVAS.
4. CARACTERIZACIÓNDE FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS.

En este primer tema se establecen los conceptos y resultados sobre convexidad de conjuntos y
funciones que son necesarios para el análisis de los problemas deoptimización que se estudian en
temas sucesivos.
1. CONJUNTOS CONVEXOS
Definición: El segmento que une dos puntos x , y ∈ R n es el conjunto

[x , y ] = { z ∈ R n /

z = λx + ( 1 − λ ) y , 0 ≤ λ ≤1 }

Definición: Un conjunto S ⊆ R n es convexo si ∀ x , y ∈ S se verifica
λx + ( 1 − λ ) y ∈ S , ∀λ ∈ [0 ,1] .
Es decir, un conjunto es convexo si dados dos puntos cualesquiera del conjunto, elsegmento que
los une está contenido en el conjunto.
Ejemplo: Gráficamente se observa que el conjunto a) cumple la condición que se establece en la
definición de conjunto convexo. El conjunto b) nola cumple, pues existen al menos dos puntos del
conjunto tales que algunos de los puntos del segmento que los une no están en el conjunto.

a) Convexo

b) No convexo

Propiedades:
1) Laintersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
2) El conjunto de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto convexo.
3) El conjunto de soluciones de un sistema lineal deinecuaciones es un conjunto convexo.
Definición: Sea S ⊆ R n convexo. x ∈ S es un punto extremo o vértice de S si no existen
x1 , x2 ∈ S , x1 ≠ x2 , tales que x = λx1 + ( 1 − λ )x2 , 0 < λ < 1

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Curso 2013/14

Es decir, un punto extremo de un conjunto convexo es aquel punto tal que no está sobre un
segmento que une otros dos puntos del conjunto.Ejemplo:
x2

x3
·

·
·

x4

·
x1
Gráficamente se observa que x1 y x3 son puntos extremos, x2 y x4 no lo son.
Un conjunto convexo puede no tener puntos extremos, o tener un número...