Convexidad

I. CONVEXIDAD


DECIMOS que una figura es convexa si cada vez que tomamos dos puntos en
ella, el segmento que los une pertenece también a dicha figura. Así, por
ejemplo, son figuras convexas un círculo, un semicírculo, una elipse, un
paralelogramo, un triángulo, un segmento, un semiplano o un cono (véase figura
II.1).
Figura II.1


Una forma de construir más ejemplos es tomar variasfiguras convexas y
fijarse en la parte común a todas ellas. Si tomamos dos puntos que estén en la
parte común, dado que las figuras son convexas, el segmento que los une estará
en cada una de ellas y por tanto en la parte común a todas ellas. Esto es, la
intersección, o parte común, de varias figuras convexas es una figura convexa
(véase figura II.2).
Figura II.2


Intuitivamente, unafigura es convexa si no está "abollada". Imagínese usted
alguna figura "abollada". Notará que es precisamente en la abolladura donde es
posible encontrar un segmento cuyos extremos estén en la figura pero que, sin
embargo, debido a la abolladura, parte de él se salga de aquélla (véase la
figura II.3).
Figura II.3


Es más, por aquellos puntos del borde de la figura en donde intuitivamentesentimos que ésta se encuentra abollada, es imposible trazar una línea que no
parta a la figura en varios pedazos. En cambio, hay puntos del borde o frontera
de la figura —en donde ésta no se halla abollada— por donde es posible trazar
una línea que deje a la figura completamente de un lado (véase figura II.4).
Figura II.4


Démosle nombre a este tipo de líneas: A una línea que toca a unafigura y
que la deja totalmente contenida en uno de los dos semiplanos determinados por
ella, la llamaremos línea soporte de la figura. Siendo fieles a nuestra idea
intuitiva de lo que sentimos que es una figura no abollada, se antoja decir que
una figura es convexa si por cada punto de su frontera pasa una línea soporte.
En efecto, veremos más adelante que así es. Por ahora, para seguiravanzando, es
importante que aclaremos algunos conceptos de topología, como son el de interior
y frontera de una figura. Observando una figura podemos distinguir tres clases
distintas de puntos: los puntos interiores, los puntos frontera y los puntos
exteriores. Un punto es un punto interior de una figura si podemos encontrar,
alrededor de él, una pequeña bolita totalmente contenida en la figura. Porsupuesto, entre más cerca del borde esté el punto, más chiquita será la bolita.
Un punto es un punto frontera de una
figura si cualquier bolita alrededor de él, por más chiquita que sea, tiene
puntos que son de la figura y tiene puntos que no son de la figura. Si un punto
de la figura no es interior, entonces cualquier bolita alrededor de él no está
totalmente contenida en la figura y por lotanto este punto tendrá que ser un
punto frontera. Así, un punto de la figura, o es interior o es frontera, pero
nunca ambas cosas a la vez. Intuitivamente consideramos que el borde de la
figura está constituido por todos los puntos frontera. Finalmente tenemos a los
puntos exteriores, que son aquellos alrededor de los cuales existe una pequeña
bolita totalmente fuera de la figura. En unafigura, los puntos exteriores son
precisamente los puntos que no pertenecen a la figura. En la figura II.5 los
puntos A y B son interiores, los puntos C y D son frontera, el punto E es
exterior y q no es una bolita alrededor del punto F.
Figura II.5


Demostración. Desde E empezamos a caminar hacia A sobre el segmento EA y
paramos la primera vez que tocamos a la figura q . Llamémosle C aeste punto. Si
C fuera un punto interior habríamos tocado a q antes de llegar a C, pues existe
una bolita, alrededor de C, totalmente contenida en q. Por otro lado, si C fuera
un punto exterior, entonces al llegar a C, aún no habríamos tocado a q. Como no
es interior ni exterior, C tiene que ser un punto frontera. Entre dos puntos
interiores A y B, de una figura convexa q todos los puntos son...