Conjuntos convexos

ALGEBRA LINEAL. CONJUNTOS CONVEXOS.
1. Dependencia e independencia lineal. Base.
2. Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones.
3. Soluciones basicas.
4. Conjuntos convexos.
5. Conjuntosconvexos: deniciones.
6. Conjuntos convexos: teoremas.
7. Aplicacion a la Programacion Lineal.

1 Dependencia e independencia lineal. Base.
Denicion 1 Dados v1; v2; : : : ; vn, se llamacombinacion
lineal de esos vectores a
1v1 +2v2 +


+nvn
siendo 1; : : : ; n 2 R.
Denicion 2 Los vectores v1; v2; : : : ; vp 2 Rn son li-
nealmente dependientes si existen 1; : : : ; p 2 R notodos nulos tales que
1v1 +2v2 +


+pvp = 0
Denicion 3 Dados v1; v2; : : : ; vp 2 Rn, si se verica
1v1+2v2+


+pvp = 0 ) 1 = 2 =


= p = 0
entonces, los vectores v1; v2; : : :; vp son linealmente in-
dependientes.
Denicion 4 Un conjunto fv1; v2; : : : ; vpg 2 Rn es un
sistema generador si 8y 2 Rn 91; : : : ; p tal que
y = 1v1 +: : :+pvp
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Denicion 5 Una basede un espacio vectorial es un
conjunto de vectores fv1; : : : ; vpg que verica
a) Son linealmente independientes.
b) Son un sistema generador.
Denicion 6 La dimension de un espacio vectoriales
el numero de vectores de una base.
Observacion: Todas las bases de un espacio vectorial
tienen el mismo numero de vectores.
Teorema 1 Cualquier vector de un espacio vectorial se
puedeescribir como combinacion lineal de los vectores
de una base, siendo esa combinacion lineal unica.
Teorema 2 Dada una base B del espacio vectorial R n
y un vector v 2 Rn que no esta en B, v 6= 0,siempre
es posible conseguir otra base sustituyendo algun vector
de B por el vector v.
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2. Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones.
Dada A 2 Rmn; rang A = numero las lin. ind..
Sea Ax = b,A 2 Rmn.
1. Si rang A 6= rang [A b] ! sistema incompatible.
2. Si rang A = rang [A b] ! sistema compatible.
 Si rang A = rang [A b] = numero de incognitas
! solucion unica.
 Si rang A =...