convolucion

Tema 3. Convoluciones continuas y discretas
Ejemplos de cálculo gráfico

Ingeniería de Telecomunicación
Universidad de Valladolid

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)

Sistemas Lineales

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Contenidos

1

Convoluciones discretas
Definición y Propiedades
Ejemplos

2

Convoluciones continuas
Definición y Propiedades
Ejemplos

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)Sistemas Lineales

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Convolución discreta. Definición y propiedades

Definición
y [n] = x[n] ∗ h[n] =

∞
−∞

x[k ]h[n − k ]

Propiedades
Elemento neutro: x[n] ∗ δ[n] = x[n]Conmutativa: x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]

Asociativa:
x[n] ∗ (h1 [n] ∗ h2 [n]) = (x[n] ∗ h1 [n]) ∗ h2 [n] = (x[n] ∗ h2 [n]) ∗ h1 [n] = x[n] ∗ h1 [n] ∗ h2 [n]
Distributiva: x[n] ∗ (h1 [n] + h2 [n]) = x[n]∗ h1 [n] + x[n] ∗ h2 [n]

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)

Sistemas Lineales

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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] =

1
δ[n]
2

y [n] = x[n] ∗ h[n] =

+ 2δ[n− 1]

h[n] = u[n] − u[n − 3]

∞
k =−∞

x[k ]h[n − k ]

x[k]
h[k]

2
1

1
2

−2 −1

k

k
0

1

2

3

4

−2 −1

5

0

1

2

3

4

h[n − k]

k
n−2
y[n]5
2

• n < 0, y[n] = 0
• n = 0, y[0] =

n
n−1

• n = 1, y[1] =
• n = 2, y[2] =

2

• n = 3, y[3] =
1
2

−2 −1

n
0

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)

1

2

3

4∞
k=−∞
∞
k=−∞
∞
k=−∞
∞
k=−∞

x[k]h[0 − k] = x[0]h[0] =

1
2

x[k]h[1 − k] = x[0]h[1] + x[1]h[0] =

5
2

x[k]h[2 − k] = x[0]h[2] + x[1]h[1] =

5
2

x[k]h[3 − k] = x[1]h[2] = 2• n > 3, y[n] = 0

5

Sistemas Lineales

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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2

∞

y [n] =x[n] ∗ h[n] =

x[k ]h[n − k ]

k =−∞

n

x[n] =α u[n],

α = β,

h[n]=β n u[n],

0 < α, β < 1.

∞

=

k

α u[k ]β

n−k

u[n − k ] =

k =−∞

u[n − k ].

βk
···

1

n−k

h[k]
αk

0

k

α β

k =0

x[k]

−2 −1

∞

2

3

4...