Convolucion

Ideas Generales
Convolución es un valor que se extiende a todos los sistemas que son invariantes linear del tiempo (LTI - Linear Time Invariant). La idea de convolución discreta es la misma que la de convolución continua. Por esta razón, puede ser de gran ayuda el ver las dos versiones para que usted entienda la extrema importancia del concepto. Recuerde que la convolución es un instrumentopoderoso al determinar el resultado de un sistema después de saber la una entrada arbitraria y la respuesta al impulso del sistema. Puede ser también útil al ver la convolución gráficamente con sus propios ojos y jugar con este concepto un poco, así que experimente con las aplicaciones que están disponibles en la Internet. Estos recursos ofrecerán métodos diferentes para aprender este conceptocrucial.
Suma de Convolución
Como ya ha sido mencionado, la suma de convolución provee una manera matemáticamante concisa para expresar el resultado de un sistema LTI, basado en una entrada arbitraria para una señal discreta y también el saber la respuesta del sistema. La suma de convolución es expresada como
y[n]=∑k=−∞∞x[k]h[n−k]
(1)Así como en tiempo continuo la convolución es representado porel símbolo *, y puede ser escrita como
y[n]=x[n]∗h[n]
(2)Al hacer un simple cambio de variables en la suma de convolución, k=n−k, podemos demostrar fácilmente que la convolución es conmutativa:
x[n]∗h[n]=h[n]∗x[n]
(3)Para mas información sobre las características de convolución, lea las propiedades de convolución.
Derivación
Sabemos que las señales discretas pueden ser representadas por lasuma de impulses discretos que están desplazados y escalados. Ya que estamos asumiendo que el sistema es linear e invariante con el tiempo, se ve razonable decir que la entrada de la señal esta formada por impulses que también están escalados y desplazados, esto en turno daría como resultado del sistema una suma de respuesta de impulse que también están escaladas y desplazadas. Esto es exactamentelo que ocurre en convolución.

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Demos un vistazo rápido a los pasos tomados en la derivación anterior. Después de nuestra ecuación inicial, nosotros usamos la propiedad de desplazamiento del DT para re-escribir la función, x[n], como una suma de funciones multiplicada por una suma unitaria. Después, movemos el operador ℋ y la sumatoria ℋ[˙] es linear, en el sistema DT. Por esta linealidady por el hecho que, x[k] es constante podemos extraer la constantes ya mencionadas y nada mas multiplicar la ecuación por ℋ[˙]. Final mente , usamos el dato que ℋ[˙] es invariante con el tiempo para llegar a nuestra ecuación deseada- la suma de convolucion !
Un ejemplo grafico puede ayudar en demostrar por que la convolución funciona

Una simple entrada con impulso da como resultado larespuesta de impulso del sistema.

Un impulso escalado como entrada da como resultado una respuesta escalada, ya que tiene la propiedad de escalmiento para un sistema lineal.

Convolucion a través del Eje del Tiempo ( Un método grafico)
En esta sección desarrollaremos una interpretación grafica de la convolución discreta. Empezaremos por escribir la suma de convolución dejando x ser causal, detamaño -m y hser causal, del tamaño-k, en un sistema LTI. Esto nos da una sumatoria finita,
y[n]=∑function anonymous() lfunction anonymous() {return arguments.callee.Init.call(this,arguments) }=0m−1x[l]h[n−l]
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Note que para cualquier n tenemos la suma de productos defunction anonymous() { return arguments.callee.Init.call(this,arguments) } xlfunction anonymous() { returnarguments.callee.Init.call(this,arguments) } desplazados en el tiempo porfunction anonymous() { return arguments.callee.Init.call(this,arguments) } h−lfunction anonymous() { return arguments.callee.Init.call(this,arguments) }. Esto es una manera de decir que multiplicamos los términos de x por los términos reflexionados en el tiempo de h y los sumamos después.

Regresamos a los ejemplos anteriores:...