Cordenadas polares

COORDENADAS POLARES
Consideremos la región A determinada por las semirrectas =, = y las curvas r=f1(), r=f2(), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector
R: 0 " r " a, " "
Sean m y n dos enteros positivos y hagamos
[pic]
[pic]
Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr y trazamos por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= conello, R queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de A; b) interiores a A, y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N, eligiendo encada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma
[pic]
[pic]
(26)
[pic]
(27)
según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el del exterior, rk-½r; por consiguiente
[pic]
quedespués de efectuar operaciones se reduce a 27.
Imaginemos reiterado este proceso con reticulos cada vez más tupidos, y consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la función F es contínua y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tienen como límite la integral doble de F extendida a A:
[pic]
(28)
Estelímite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:
[pic]
(29)
Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas para escribir la integral doble y transformarla después a coordenadas polares. La respuesta es afirmativa en términos generales.
X=f(u, v), y=g(u, v) (30)
Se puede interpretar como la representación de una región A del plano xy mediante otraregión G del plano uv. Bajo determinadas condiciones respecto a las funciones f y g, la siguiente ecuación constituye la formula para el pase de las coordenadas xy a las coordenadas uv en una integral doble:
[pic]
(31)
donde el símbolo (x, y)/(u, v) designa el jacobiano que se define por el siguiente determinante
[pic]
En el caso de coordenadas polares se tiene:
x=r cos , y=r sen
y
[pic]Por consiguiente, la ecuación 31 se adopta la forma:
" " (x, y) dx dy = " " (cos + sen ) r dr d (32)
que corresponde a la 29
El área total de una región esta dad por una cualquiera de las dos integrales dobles
A=" " dx dy= " " r dr d (33)
con límites apropiados. Esto, esencialmente significa que la región dada se puede dividir en porciones de área
dAxy= dx dy (34)
Mediante rectas paralelasa los ejes x e y o que también puede dividirse en porciones de áreas
dAr=r dr d (35)
Por medio de semirrectas trazadas por el origen y arcos circulares, y que el área totales obtiene sumando todos los elementos de uno cualquiera de esos tipos. Pero observese que las áreas elementales de ambos tipos no son equivalentes. En efecto, mediante un calculo elemental que se ve que
dAxy=dx dy= d(r cos)d(r sen) " r dr d = dAr

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS.
COORDENADAS CILINDRICAS.
Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.
r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z
[pic]
=[pic]
Plano que contiene al eje z
z= 2 Plano perpendicular al eje zEl elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es [pic]
Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.
EJEMPLO. Encuentre los límites de integración en coordenadas cilíndricas para integrar una función F(r, [pic]
, z) sobre la región D limitada abajo por el plano z=0,...