cordenadas

Coordenadas
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´ındricas y
esf´
ericas en el
espacio
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .

En el estudio de los conjuntos y las funciones es fundamental el sistema que se utilize para
representar los puntos. Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de espacio af´ın o de
espacio vectorial de Rn , utilizando el sistema derepresentaci´on cartesiana mediante pares de
n´umeros, en el caso del plano, o mediante ternas en el caso del espacio, que identificamos con
un sistema de coordenadas ortogonal.
Sin embargo esta no es la u´nica forma posible de identificar los puntos. Hay otras formas
de representaci´on que en ocasiones pueden resultar m´as u´tiles: el sistema de representaci´on
cartesiana es u´til para representarla superficie de la tierra en un plano, pero sin embargo los
barcos en el mas utilizan un sistema de radar bidimensional que sit´ua los puntos del plano
en c´ırculos centrados en el origen de coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o los
submarinos, utilizan un sistema de radar tridimensional. Estos sistemas se basan en los sistemas
de coordenadas polares, cil´ındricas y esf´ericasque vamos a ver en este cap´ıtulo.

1. Coordenadas polares en el plano

Coordenadas
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´ındricas y
esf´
ericas en el
espacio

Partimos de la representaci´on cartesiana del plano mediante pares ordenados de n´umeros, que
representan la distancia del punto a dos ejes ortogonales, llamados ejes de coordenadas. La
costumbre es dibujar uno horizontal(abscisas) y otro vertical (ordenadas), y llamar x a la distancia
del punto P al eje vertical, e y a la distancia al eje horizontal.
De este modo cada punto del plano est´a un´ıvocamente determinado por sus dos coordenadas
P = (x, y)
P = (x, y)

y
r

Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .

t
x

Pues bien, tambi´en podemos identificar cada punto del plano por otros dosn´umeros: uno es
la distancia que lo separa del origen de coordenadas, r, y otro el ´angulo t que forma el segmento
que une P con el origen con el sentido positivo del eje horizontal. r se denomina m´odulo de P

Coordenadas
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´ındricas y
esf´
ericas en el
espacio

y t argumento de P , y el par (r, t) se denomina coordenadas polares de P .
Estarelaci´on no es un´ıvoca, en el sentido de que a un punto P le corresponden infinitos pares,
puesto que podemos escoger el ´angulo t o cualquier otro de la forma t + 2kπ. Para que a un
punto le corresponda un u´nico par, debemos escoger los ´angulos en un intervalo de longitud 2π,
que normalmente ser´a el intervalo [0, 2π). De esta manera, a cada punto P del plano distinto
del origen (0, 0) lecorresponde un u´nico par (r, t), con r > 0 y 0 ≤ t < 2π.
El origen de coordenadas se caracteriza porque r = 0, pero t puede ser cualquier ´angulo.
Aplicando un poco de trigonometr´ıa, la relaci´on entre las coordenadas cartesianas de un punto
y sus coordenadas polares es clara:
x = r cos(t)
y = r sen(t)

r = x2 + y 2
t = arctan(y/x)

Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .con una precauci´on: para que la funci´on arcotangente est´e bien definida (a un n´umero real
le corresponda un u´nico ´angulo), debe escogerse un intervalo de longitud π en el que definir
la imagen. Usualmente se define la funci´on arcotangente de R en el intervalo [−π/2, π/2],
arctan : R −→ [−π/2, π/2]. En este caso para un punto P que est´e en el segundo o tercer
cuadrante del plano lafunci´on arctan(y/x) nos dar´a un ´angulo α entre −π/2 y π/2, y el verdadero
argumento de P ser´a t = α + π. Y si P est´a en el cuarto cuadrante, el argumento de P ser´a
α + 2π. Es decir, deber´ıamos escribir

t=α+π
t=α+π

Coordenadas
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´ındricas y
esf´
ericas en el
espacio

t=α

α

α
α

t = α + 2π

Coordenadas . . .
Coordenadas . . ....