correlacion y regresion


CORRELACION
En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal y proporcionalidad entre dos variables estadísticas. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlaciónsi al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad.
Fuerza, sentido y forma de la correlación
La relación entre dos variables cuantitativas queda representada mediante la línea de mejor ajuste, trazada a partir de la nube de puntos. Los principales componentes elementales de una líneade ajuste y, por lo tanto, de una correlación, son la fuerza, el sentido y la forma.
La fuerza extrema según el caso, mide el grado en que la línea representa a la nube de puntos: si la nube es estrecha y alargada, se representa por una línea recta, lo que indica que la relación es fuerte; si la nube de puntos tiene una tendencia elíptica o circular, la relación es débil.
El sentido mide lavariación de los valores de B con respecto a A: si al crecer los valores de A lo hacen los de B, la relación es directa (pendiente positiva); si al crecer los valores de A disminuyen los de B, la relación es inversa (pendiente negativa).
La forma establece el tipo de línea que define el mejor ajuste: la línea recta, la curva monotónica o la curva no monotónica.
Coeficientes de correlación
Existendiversos coeficientes que miden el grado de correlación, adaptados a la naturaleza de los datos. El más conocido es el coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidad por Francis Galton), que se obtiene dividiendo la covarianza de dos variables entre el producto de sus desviaciones estándar. Otros coeficientes son:
Coeficiente de correlación de Spearman
Correlación canónicaCoeficiente de Correlación Intraclase

Interpretación geométrica
Dados los valores muéstrales de dos variables aleatorias  e , que pueden ser consideradas como vectores en un espacio a n dimensiones, pueden construirse los "vectores centrados" como:
 e 

El coseno del ángulo alfa entre estos vectores es dado por la fórmula siguiente:






Pues \cos(\alpha) es el coeficiente decorrelación muestral de Pearson. El coeficiente de correlación es el coseno entre ambos vectores centrados:
Si r = 1, el ángulo \alpha = 0°, ambos vectores son colineales (paralelos).
Si r = 0, el ángulo \alpha = 90°, ambos vectores son ortogonales.
Si r =-1, el ángulo \alpha = 180°, ambos vectores son colineales de dirección opuesto.
Más generalmente: \alpha = \arccos(r).
Por supuesto, del puntovista geométrica, no hablamos de correlación lineal: el coeficiente de correlación tiene siempre un sentido, cualquiera si que sea su valor entre -1 y 1. Nos informa de modo preciso, no tanto sobre el grado de dependencia entre las variables, que sobre su distancia angular en la hiperesfera a n dimensiones.
La Iconografía de las correlaciones es un método de análisis multidimensional que reposa enesta idea. La correlación lineal se da cuando en una nube de puntos estos se encuentran o se distribuyen alrededor de una recta.
La fórmula de correlación para dos series distintas con cierto desfase "k", está dada por la fórmula:









Distribución del coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación muestral de una muestra es de hecho una variable aleatoria, esosignifica que si repetimos un experimento o consideramos diferentes muestras se obtendrán valores diferentes y por tanto el coeficiente de correlación muestral calculado a partir de ellas tendrá valores ligeramente diferentes. Para muestras grandes la variación en dicho coeficiente será menor que para muestras pequeñas. R. A. Fisher fue el primero en determinar la distribución de probabilidad para el...