Corriente alterna

Circuito RC alimentado con cc
R

i

ε

C

τ=RC: constante de tiempo RC

ε dq q q q = 0 en t = 0 ⇒ i0 = ε =i R+ = R + R C dt C ε − RtC di i di 1 i= e R + =0 dt =− R dt C i RC t t t t − − ε   RC RC  q = ∫ i dt = (− R C ) e  q = ε C 1 − e  R 0 0  
q = 5 (1 − exp(−t / τ )

i = 1,5 exp( −t / R C )
τ=3

τ=5 τ=10 τ=3 τ=5 τ=10

Curva de descarga del capacitor
R i

C

-q+

0

En determinado momento de la curva de carga se cortocicuita la fem, por ej. cuando q=q0 q dq q R=0 + i' R = + C C dt

dq dt =− q RC

q = q0 e

−

t RC

q = 5 exp(−t / 3)

dq q0 − RtC i= e =− dt RC
i en sentido contrario

i = 1,5 exp( −t / 3)

Circuito RL alimentado con cc
i R

ε

L

di ε =i R+L dt ds Rs+L =0 dt

di di d 2i s= R +L 2 =0 dt dt dt ds R s R ln =− t= − dt s L st =0 L
− Rt L Rt − ε i = 1 − e L   R 

En t=0, i=o y (di/dt)t=0 =st=o =ε /L

τ=L/R: constante de tiempo RL

ε s= e L
− t 3

i = 1,5 (1 − e )

Si en t’ se cc la fem

di iR+L =0 dt

i = i0 e

−

Rt L

Con CC t = 0 C: cc t = ∞ C: ca L: ca L: cc

Circuito LC alimentado con cc
i C

t =0⇒q =0 y i =0

ε

L

di q ε −L − =0 dt C

Oscilador d 2i 1 L 2 +i = 0 armónico dt C simple 1 2π i = i0 cos (ω t + ϕ ) = 2π f = ω= LC τ

i0: amplitud; f: frecuencia natural circ. LC; ϕ: ángulo de fase; τ: período

π En t=0, C es un cc y solo t = 0 i = 0 ⇒ i = i0 cos ϕ = 0 ⇒ ϕ = ± 2 actúa L=> i(t=0)=0  di  = −i ω L sen ϕ ⇒ i = − ε sen −1ϕ t =0 q =0⇒ε = L  0 0 ωL  dt t =0 π π En t=o todo ε en L; C descargado si ϕ = ⇒ i0 〈 0 ⇒ ϕ = − 2 2 C ε ε  ω t − π = ε sen ω t i0 = =ε cos  i=  L ωL 2 ω L ωL 

ε i= sen ω t Carga en el condensador ωL t t ε ε q = ∫ i dt = ∫ sen ω t = 2 (1 − cos ω t ) = ε C (1 − cos ω t ) ω L 0 0ω L
Caída de potencial en el condensador q ∆VC = = ε (1 − cos ω t ) C Caída de potencial en el inductor di ∆VL = L = ε cos ω t dt
Tensión-Corriente

i

C

ε

L

∆VC + ∆VL = ε
2ε

6 5 4

Suma de tensiones parcialesinstantáneas en cada elemento =ε, pero no de amplitudes pues no tienen la misma fase

3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3

∆VC

∆VL
4 5

i
Tiem po

∆ϕ =180°
6

7

i

C

ε i= sen ω t ωL
L

ε

q ∆VC = = ε (1 − cos ω t ) C di ∆VL = L = ε cos ω t dt q = ε C (1 − cos ω t )

C ε2 2 Potencia suministrada P = i ε = sen ω t = ε sen ω t L ωL dU C ε 2 C q2 ε 2 C 2 (1 − cos ω t ) ωsen ω t = UC = (1 − cos ω t ) 2 PC = = dt 2 2C 2 L i2 dU L ε2 ε2 UL = sen 2 ω t PL = 2 ω sen ω t cos ω t = = 2 2 2ω L dt 2ω L
7 6 5 4 3

P

PC

2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 0 1 2 3 4 5 6

PL

C PC = ε (1 − cos ω t ) sen ω t L C 2 P = PC + PL PL = ε L sen ω t cos ω t
2

P o te n c ia

t
7

C q0 L

q = q0 cos (ω t + ϕ ) di q d 2q q L + =0⇒ L 2 + =0 ω =1 L C dt C dt C Si t = 0, q =q0 ⇒ ϕ = 0 q = q0 cos ω t

Tensión-Corriente

di q0 q0 dq ∆VL = L = − cos ω t = cos (ω t − π ) i = = −ω q0 sen ω t dt C C dt 2 q0 q2 L i2 q q0 U = UC + U L = = + ∆VC = = cos ω t 2C 2C 2 C C 2 q0 UC = cos 2 ω t ∆VC + ∆VL = 0 2 2C L ω 2 q0 ∆VC UL = sen 2 ω t ∆VL 2
6 4 2

q o /2 C
P o te n c ia

2

0

UC

B

-2

C

UL

-4

i
0 1 2 3 4 5

∆ϕ
6 7

-6

Tiempo

0

12

3

4

5

6

T ie m p o

Circuito RLC alimentado por cc

Corriente

di i d 2i q di 0=L 2 +R + ε =L +Ri+ C dt dt C dt C i L R  1   R  R2 ε i = i0 exp  − t  cos    L C − 4 L2 t + ϕ   2L    R2 1 < Solución solo válida para R chicas tal que 2 4L LC L Régimen R2
0 1 2 3 4 5 6

L C
7

Régimen sobreamortiguado

Tiempo

R, C y L alimentadas con ca
T e n s ión - C o r r ie n t e

ε = ε 0 sen ω t
6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

ε

R

ε ε0 i = = sen ω t R R i = i0 sen ω t ε 0 = i0 R

ε

i yε en fase

i
0 1 2 3 4 5 6 7

ε

q = C V = C ε 0 sen ω t dq C i= = C ε 0 ω cos ω t dt i = i0 sen (ω t + π 2) 1 Reactancia XC = ε 0 = i0 (1 ω C ) ω C capacitiva
L

-6

6

T e n s ió n -C o rrie n te

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0

ε...