Corripio

GUIA 8

Soluciones en series de potencias
El Teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones permite definir una funci´n o x = x(t) como la unica soluci´n de un problema de valores iniciales. Un problema de valores ´ o iniciales en el punto t = t0 consiste en una ecuaci´n diferencial de orden n o dn x =f dtn junto con n condiciones de la forma x(t0 ) = x0 , dn−1 x dx (1) (n−1) (t0 )= x0 , . . . , (t0 ) = x0 . dt dtn−1 t, x, dx dn−1 x , . . . , n−1 dt dt

Muchas de las llamadas funciones especiales, que aparecen en relaci´n con diversos problemas o tanto de la matem´tica pura como de la matem´tica aplicada, surgen de forma natural en a a este contexto. Por ejemplo, las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y de Legendre son soluciones de las respectivasecuaciones: ecuaci´n de Bessel: t2 o ecuaci´n de Hermite: o ecuaci´n de Legendre: o d2 x dx +t + t2 − p2 x = 0, 2 dt dt dx d2 x − 2t + λ x = 0, dt2 dt 2 dx 2 d x 1−t − 2t + λ x = 0. dt2 dt

Tambi´n las funciones del c´lculo elemental se pueden caracterizar en t´rminos de ecuae a e t ´ o ciones diferenciales. As´ la funci´n exponencial x = e es la unica soluci´n del problema de ı, o valor inicial dx = x,x(0) = 1, dt mientras que la funci´n x = sen t puede verse como la soluci´n del problema de valor inicial o o d2 x + x = 0, dt2 x(0) = 0, x (0) = 1.

Se deja al lector la tarea de encontrar un problema de valores iniciales que determina a la funci´n x = cos t. o Varias de las funciones especiales, entre ellas las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y Legendre mencionados antes, seobtienen como soluciones de ecuaciones lineales homog´neas de segundo orden e d2 x dx + a(t) + b(t) x = 0, dt2 dt cuyos coeficientes a(t) y b(t) son funciones racionales de t, esto es, son cocientes de polinomios en t. En general no existen m´todos que permitan calcular las soluciones de estas ecuaciones e 1

en t´rminos de funciones elementales. Si en un problema de inter´s pr´ctico se requieredel e e a estudio de una de estas funciones soluci´n es necesario recurrir a otras t´cnicas. o e El m´todo de las soluciones en series, utilizado por Newton en sus Philosophia Naturae lis Principia Mathematica (1686), es uno de los m´todos m´s antiguos de la teor´ de las e a ıa ecuaciones diferenciales. Consiste en determinar los coeficientes c0 , c1 , c2 . . . de modo que la funci´n o ∞ x(t) = c0 +c1 (t − t0 ) + c2 (t − t0 )2 + · · · =
n=0

cn (t − t0 )n

(1)

sea soluci´n de una ecuaci´n dada, en un intervalo alrededor del punto t = t0 . o o Ejemplo 1. Consideremos el problema de valor inicial dx = x, x(0) = 1. dt Si suponemos que la soluci´n buscada x = x(t) tiene una expansi´n en serie de potencias o o alrededor del punto t0 = 0, entonces x(t) = c0 + c1 t + c2 t2 + . . . =
∞ n=0cn t n ,

(2)

para ciertos coeficientes c0 , c1 , c2 , . . .. Derivando t´rmino a t´rmino se obtiene la expansi´n e e o para la derivada ∞ dx 2 = c1 + 2c2 t + 3c3 t + . . . = n cn tn−1 . dt n=1 Sustituyendo ahora en la ecuaci´n o Sumando t´rminos se concluye que e c1 + 2c2 t + 3c3 t + · · · − c0 + c1 t + c2 t2 + . . . = 0
2 ∞ n=0 dx dt 2

− x = 0 obtenemos

(c1 − c0 ) + (2c2 − c1 ) t +(3c3 − c2 ) t + . . . =

((n + 1) cn+1 − cn ) tn = 0.

de donde se tiene una relaci´n de recurrencia para los coeficientes cn : o cn , n = 0, 1, 2, . . . . cn+1 = n+1 cn−2 En consecuancia cn = cn−1 = n(n−1) = · · · = c0 . Reemplazando t = 0 en (2) se sigue que n n! 1 x(0) = c0 de donde la condici´n inicial x(0) = 1 implica c0 = 1, de forma que cn = n! para o n = 0, 1, 2, . . . y ∞ t2 t3 tnx(t) = 1 + t + + + . . . = , 2 6 n! n=0 que es el desarrollo en serie de Taylor de la funci´n exponencial. o 2

Teniendo en cuenta la unicidad de las expansiones en series de potencias, el coeficiente de cada t´rmino tn en la serie anterior debe ser igual a 0; por lo tanto para todo n = 0, 1, 2, . . . e se sigue que (n + 1) cn+1 − cn = 0,

1.

Soluciones cerca a un punto ordinario

En...