coseno
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Publicado: 3 de noviembre de 2014
Teorema del coseno
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los ladosrespectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Ghiyath_al-Kashi" \o "Ghiyath al-Kashi" Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.1Fig. 1 - Notación más habitual de un triángulo.
Índice
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1 Historia2 El teorema y sus aplicaciones3 Demostraciones3.1 Por desglose de áreas3.2 Por el teorema de Pitágoras3.3 Por la potencia de un punto con respecto a un círculo3.4 Por el cálculo vectorial4 Generalización en geometrías no euclídeas4.1 Geometría esférica4.2 Geometría hiperbólica5 Generalización en el espacioeuclídeo6 Véase también7 Referencias8 BibliografíaHistoria[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_del_coseno&action=edit§ion=1" \o "Editar sección: Historia" editar]
Los Elementos de Euclides, que tratan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 dellibro II, tratan separadamente elcaso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.2 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados quecomprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso».
Euclides, Elementos.3Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:Fig. 2 - Triángulo ABC con alturaBH.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: elastrónomo y matemático al-Battani4 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.5 6 Fue durante elmismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Ghiyath_al-Kashi" \o "Ghiyath al-Kashi" Ghiyath al-Kashi,7 matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidenteporFrançois Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.8Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.9El teorema y susaplicaciones[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_del_coseno&action=edit§ion=2" \o "Editar sección: El teorema y sus aplicaciones" editar]
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del...
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los ladosrespectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Ghiyath_al-Kashi" \o "Ghiyath al-Kashi" Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.1Fig. 1 - Notación más habitual de un triángulo.
Índice
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1 Historia2 El teorema y sus aplicaciones3 Demostraciones3.1 Por desglose de áreas3.2 Por el teorema de Pitágoras3.3 Por la potencia de un punto con respecto a un círculo3.4 Por el cálculo vectorial4 Generalización en geometrías no euclídeas4.1 Geometría esférica4.2 Geometría hiperbólica5 Generalización en el espacioeuclídeo6 Véase también7 Referencias8 BibliografíaHistoria[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_del_coseno&action=edit§ion=1" \o "Editar sección: Historia" editar]
Los Elementos de Euclides, que tratan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 dellibro II, tratan separadamente elcaso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.2 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados quecomprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso».
Euclides, Elementos.3Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:Fig. 2 - Triángulo ABC con alturaBH.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: elastrónomo y matemático al-Battani4 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.5 6 Fue durante elmismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Ghiyath_al-Kashi" \o "Ghiyath al-Kashi" Ghiyath al-Kashi,7 matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidenteporFrançois Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.8Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.9El teorema y susaplicaciones[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_del_coseno&action=edit§ion=2" \o "Editar sección: El teorema y sus aplicaciones" editar]
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del...
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