Crecimiento y decaimineto

Crecimiento y decaimiento.
Ecuación 1 : dPdt=k∙P, donde Pt0=P0

Crecimiento de una población de bacterias
En la actualidad se contempla unnúmero existente en la población P0 de bacterias. En un determinado tiempo t=1 h se determina que el número de bacterias 32P0. Si la razón de con la que seexpande es proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que la población crezca tres veces a lo inicial.Representamos la ecuación anterior en forma homogénea,
ecuacion 2 dpdt-k∙P=0
Con t0=0 la condición inicial es de P0=0
Entonces se usa la observación de queP1=32P0 para determinar k (constante de proporcionalidad).
Dada la ecuación anterior identificamos nuestra P(x)por método de ED lineales, por lo tanto se tieneque P(t)=k. Entonces se tiene:

μt= ept dt = e-k dt= e-kt
Por lo tanto nuestro factor integrante es e-kt
Multiplicamos nuestro factor integrante a la ecuación2 obtenida,
e-ktdpdt-k∙P=0
e-ktdpdt-e-ktk∙P=0
Expresamos de la siguiente manera;
ddt[e-kt P]=0
Integramos ambos lados de de la ecuación expresada:
ddt[e-ktP]=0
Se tiene lo siguiente:
e-kt P=c
Por lo tanto obtenemos
pt ekt
En t=0 se tiene que P0=ce0=c, por lo tanto Pt=P0ekt.
En t=1 se obtiene que 32P0=P0ek, oek= 32.
En la última ecuación obtenida aplicamos logaritmos para eliminar el exponencial,
lnek= 32
k=ln32=0.405
Pt=P0e0.405t
Para poder determinar eltiempo en que se ha crecido tres veces más el número de bacterias, se expresa 3P=P0ekt para t.
Entonces
ln3=e0.405t
ln3=0.405
Despejamos t,
t=ln30.405=2.710 hrs