criterio de estabilidad de ruth hurwitz

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I NGENIER´A EN AUTOMATIZACI ON
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Control Automatico 1
Problemas Resueltos

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C ONTROL I NDUSTRIAL

U NIVERSIDAD N ACIONAL DE Q UILMES
29 de julio de 2003
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Pagina 1 de 2Resoluci´ n de problemas utilizando el criterio de Routh-Hurwitz
o
En este apunte veremos t´ cnicas para utilizar el criterio de Routh cuando el primer t´ rmino de una de las
e
e
´
l´neas es cero o siuna l´nea entera es cero mediante ejemplos. Por ultimo veremos una aplicaci´ n del criterio
ı
ı
o
de Routh.
Caso 1: Consideremos primero el caso en donde el primer elemento de una fila es cero,pero al menos uno de
los otros elementos es no nulo. Tomemos el polinomio P(s) = s5 + 3s4 + 2s3 + 6s2 + 3s + 3, el arreglo
num´ rico que resulta es
e
s5 1 2 3
s4 3 6 3
s3 0 2
s2
s1
s0

=⇒s5
1
s4
3
s3
|ε|
6
s2
6− ε
|ε|2
s1 2 + 2−2|ε|
s0
3

2 3
6 3
2

Si ahora hacemos |ε| −→ 0+ , observamos que
lim + 6 −

|ε|→0

6
0
2 − 2|ε|

por lo que concluimos que elpolinomio P(s) no es Hurwitz y dado que existen dos cambios de signos
en la primer columna del arreglo num´ rico de Routh, P(s) tiene dos ra´ces con parte real positiva.
e
ı
Caso 2: Consideremos ahorael caso en el que toda una fila es nula, para ello utilicemos P(s) = s5 + 6s4 + 12s3 +
12s2 + 11s + 6 y armemos el arreglo num´ rico de Routh:
e

s5 1 12 11
s4 6 12 6
s3 10 10
s2 6 6
s1 0 0 Pa(s) = 6s2 + 6
nuevo s1 12 0 ←− dPa (s) = 12s
ds
s0 6
No hay cambios de signo en la primera columna. Por lo tanto, todas las ra´ces tienen parte real negativa.
ı
excepto un par que son
Pa (s) =6s2 + 6 = 0

⇒

s = ±j

Aplicaci´ n del criterio de Routh
o
El m´ todo de Routh lo podemos utilizar para determinar los intervalos de los par´ metros para los cuales un
e
a
sistemarealimentado como el de la Figura 1, permanece estable. Veremos ahora algunos ejemplos:
Ejemplo 1 Consideremos el sistema de la Figura 1. Las propiedades de estabilidad del sistema est´ n en
a
funci´ n...