Criterio de estabilidad

Criterio de Estabilidad de Nyquist El criterio de Estabilidad de Nyquist está basado en un teorema de la variable compleja. Para entender este criterio primero se utilizarán los conceptos de transferencia del plano S al plano complejo GH(s). Este criterio también es útil para obtener información acerca de las funciones de transferencia de componentes o sistemas a partir de datos experimentalessobre la respuesta de frecuencia Representaciones de funciones complejas de una variable compleja Una función real de una variable real se puede representar por una sola gráfica con ejes X, Y. Pero una función compleja tal como P(s) con s = σ+jω se requiere de 2 graficas bidimensionales. La primera es una grafica de jω contra σ que se denomina plano S, igual como se usó para representar mapas depolos y ceros. La segunda gráfica es la parte imaginaria de P(s) contra la parte real de P(s) que se denomina plano P(s). Existe una correspondencia entre los polos de los 2 planos que conlleva una proyección ó transformación. Los puntos en el plano S se proyectan sobre puntos en el plano P(s) por medio de la función P.

Como ejemplo, consideremos la función compleja P(s)= s2+1. Si al punto so = 2+ 4j le aplicamos la ley de transformación P(s) entonces el punto so se proyecta en el plano P(s) como : P (so)= P (2 + 4j)= (2 + 4j)2 + 1 = -11 + 16j En el ejemplo anterior se proyectó un solo punto , si deseamos proyectar toda una región en el plano S al plano P(s), como por ejemplo la región limitada por las rectas : ω = 0, σ= 0, ω = 1, σ = 2 en el plano S usando la transformación P(s) = s + 1-2j entonces : En el caso general s = σ+jω P(σ+jω)= σ+ jω +1- j2= (σ+1)+j(ω-2)

ω=0 , ω=1 , ω=1 ω=0 ,

σ=0 σ=0 σ=2 σ=2

P(0 +0 j)= 1 - 2j P(0 + j)= 1 - j P(2+jω) = 3 - j P(2 + 0j) = 3 -2j

Propiedades de la variable compleja
dP := lim

P(s ) − P(So)

ds s − So s → So 1.- Si la derivada de P en So definido por existe en todos los puntos de una región del plano S entonces P esanalítica en esa región.

2.- Un punto en el cual P(s) no es analítica, es en un punto singular de P(s). Un polo de P(s) es un punto singular. 3.- Un contorno cerrado en un polo complejo, es una curva continua que comienza y termina en el mismo punto.

4.-Se dice que todos los puntos hacia la derecha de un contorno están encerrados por este, cuando se atraviesa el contorno en la dirección delmovimiento de las agujas del reloj.

5.-Dirección Positiva. Si la trayectoria sigue el sentido del movimiento de las agujas del reloj. 6.- Cada contorno cerrado del plano S se proyecta en un contorno cerrado del plano P(s). 7.- P(s) evita los puntos singulares del plano S. 8.- Cada punto del plano S se proyecta sobre uno y solo un punto de P(s). 9.- El numero total de vueltas N al origen de P(s)realizadas por un contorno cerrado en P(s) es igual al numero de ceros Z menos el numero de polos P en el plano S. N = Z- P 10.- Si el origen de P(s) esta rodeado por un contorno cerrado entonces N > 0. Si el origen de P(s) no esta rodeado por un contorno cerrado entonces N ≤ 0. El signo de N se determina sombreando la región que queda hacia la derecha del contorno en la dirección preescrita. Si elorigen queda sobre la región sombreada N > 0. de lo contrario N ≤ 0. Ejemplo. Determinar el numero de ceros Z encerrados por el contorno del plano S donde P=5.

Como el origen de P(S) esta encerrado una sola vez N=1 . En el plano S se ve que P=5 por lo que Z=N+P 1+5=6 polos

Ejemplo: Determine el valor de N según las

gráficas

N=0 Criterio de Nyquist. Para analizar la estabilidad de unsistema de control, consideramos la ecuación característica de tal forma que: F(S)= 1+P(S) si P(S)= N(S)/ D(S) F(S)= 1+P(S) = 1+N(S)/D(S)= (D(S)+ N(S))/ D(S) Donde D(S)+N(S) son los ceros de F(S), y D(S) son los polos de F(S) y a la vez D(S)+N(S) son los polos de lazo cerrado de la función de transferencia. Para

que el sistema sea estable es necesario que los ceros de F(S) (que a la vez son los...