Criterios De Convergencia De Series

RESUMEN DE CRITERIOS SOBRE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES INFINITAS
A fin de adquirir destreza en el reconocimiento y aplicación del criterio apropiado, se requiere de práctica considerable, la cual se obtendrá realizando los ejercicios de la guía respectiva. Como ayuda, se listan a continuación los criterios y se aconseja que sean aplicados en el orden indicado. Si un paso en particularno es aplicable o no puede inferirse ninguna conclusión, continúe con el siguiente. En ocasiones pueden aplicarse más de un criterio, sin embargo, es importante que elija el más eficaz.
1 . − C a lc u le lim ( u n ). S i lim ( u n ) ≠ 0 , e n to n c e s la s e rie d ive rg e . S i lim ( u n ) = 0, n o p u e d e in fe rirse n in g u n a c o n c lu s ió n .
n → +∞ n→ +∞ n → +∞

2 .- E x a m in ela se rie a fin d e d e term in a r si c o rre sp o n d e a u n o d e lo s sig u ie n te s tip o s e sp e c ia le s: ( i ) U n a se rie g e o m é tric a : ( ii ) U n a se rie p :

∑ a .r
n =1 +∞

+∞

n −1

. C o n ve rg e a la su m a

a si r < 1; d iv e rg e si r ≥ 1 . 1− r

∑

+∞

n =1

1 (d o n d e p e s u n a c o n s ta n te ). C o n v e rg e s i p > 1 ; d ive rg e si p ≤ 1 .np

( iii ) U n a s e rie a lte rn a n te :

∑ (− 1)
n =1

n +1

.a n

ó

∑ (− 1)
n =1 n → +∞

+∞

n

.a n

S i an > 0, y

a n +1 < a n

p a ra to d o s lo s n ú m e ro s e n te ro s p o sitivo s n , y si lim a n = 0 , e n to n c e s la s e rie a lte rn a n te e s c o n v e rg e n te .

3 . − A p liq u e e l c rite rio d e la ra z ó n , S e a ( i ) s i lim ( ii ) si∑u
n =1

+∞

n

u n a se rie in fin ita p a ra la c u a l u n e s d ife re n te d e c e ro :

n → +∞

u n +1 = L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ; un u n +1 u = L > 1, o si lim n + 1 = + ∞ , la se rie e s d iv erg e n te ; n → +∞ un un u n +1 = 1, un n a d a se p u e d e in fe rir a c e rc a d e la c o n ve rg en c ia a p artir d e e ste c rite rio .

n →+∞

lim

( iii ) si lim

n → +∞

4 .- A p liq u e e l c rite rio d e la ra íz : S e a ( i ) s i lim
n n → +∞ n n → +∞ n n → +∞

∑u
n =1

+∞

n

u n a se rie in fin ita p a ra la c u a l ca d a U n e s d ife re n te d e c e ro :

u n = L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ; u n = L > 1, o si lim
n n→ +∞

( ii ) si lim

u n = + ∞ la s e rie e s div e rg e n te ;

( iii ) si lim

u n = 1, n a d a se p u e d e in ferir a ce rc a d e la c o n ve rg e n c ia a p a rtir d e e ste c rite rio .

5 .- A p liq u e e l crite rio d e la in teg ra l: S e a f u n a fu n c ió n q u e e s c o n tin u a , d e c re c ie n te y d e va lo re s p o sitiv o s p a ra to d a x ≥ 1 . E n to n c e s la s e rie in fin ita
+∞

∑

+∞

f ( n ) = f (1) + f( 2 ) + f (3) + ... + f ( n ) + ... e s c o n v e rg e n te si la in te g ra l

n =1

im p ro p ia

∫
1

f ( x ). d x

e x iste , y e s d iv e rg e n te si lim

b → +∞

∫
1 +∞

b

f ( x ).d x = + ∞ .

6 .- A p liq u e e l c rite rio d e c o m p a ra c ió n : S e a la se rie (i ) S i

∑u
n =1

n

u n a s e rie d e té rm in o s p o sitiv o s.

∑v
n =1 +∞

+∞

ne s u n a se rie d e té rm in o s p o s itiv o s d e la c u a l se sa b e q u e c o n v e rg e , y si U n ≤ V n p a ra

to d o n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s ( ii ) S i

∑u
n =1 +∞

+∞

n

e s c o n v erg e n te .

∑w
n =1

n

e s u n a s e rie d e té rm in o s p o sitivo s d e la c u a l se s a b e q u e d iv e rg e , y s i U n ≥ W n p ara

to d o n ú me ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s

∑u
n =1

n

e s d iv e rg e n te .

o a p liq u e el c riterio d e c o m p ra c ió n p o r p a s o a l lím ite : S e a n ( i ) S i lim

∑u
n =1

+∞

n

y

∑v
n =1

+∞

n

d o s se rie s d e té rm in o s p o s itiv o s.

n → +∞

un = c > 0, e n to n c e s la s d o s se rie s so n c o n ve rg e n te s o a m b a s se...