criterios de la segunda derivada

Matemáticas


CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS.
EXTREMOS RESTRINGIDOS Y
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE


Ejercicios Resueltos

CONCEPTOS BÁSICOS

Dada una función de varias variables, sabemos que presenta un punto crítico cuando su gradiente es nulo. Para identificar de qué punto crítico se trata, debemos usar el criterio de la segunda derivada. Ésteestablece que dada una función f(x; y) que presenta un punto crítico en (x0; y0), podemos calcular el siguiente discriminante:



Si D > 0 y > 0, se tiene un mínimo local en (x0; y0). Si D > 0 y < 0, se tiene un máximo local en (x0; y0). Si D < 0, se tiene un punto silla en (x0; y0). Finalmente, si D = 0 el criterio de la segunda derivada no decide la naturaleza del punto crítico en (x0; y0).Cuando se desea obtener los extremos absolutos de una función en una cierta región del dominio, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Hallar los puntos críticos de la función en el dominio y calcular su valor en ellos.
2. Hallar los valores extremos de la función sobre la frontera del dominio.
3. Determinar los valores máximo y mínimo de entre todos los hallados en los dos puntos anteriores.Hallar extremos restringidos significa determinar los extremos de una función f(x; y) sujetos a una restricción g(x; y) = 0. Para ello debe plantearse la ecuación vectorial:

f = g

El valor  se conoce como multiplicador de Lagrange y es un auxiliar para determinar los valores de las variables del dominio que satisfacen la ecuación vectorial y la restricción. Si existen variasrestricciones, se plantean varios multiplicadores.


PROBLEMAS

1) Puntos críticos. Hallar y clasificar los puntos críticos de:



Solución

Tenemos:



Ahora



2) Extremos absolutos. Hallar el valor máximo y mínimo de la función f(x; y) = x2y(4 - x - y) en el triángulo limitado por las rectas x = 0; y = 0; x + y = 6.

Solución

a) Puntos críticos. Primero debemos encontrar lospuntos críticos de la función que se encuentran en el dominio dado, que es el triángulo de extremos (0; 0), (6; 0), (0; 6). No interesa, a los efectos de obtener extremos absolutos, determinar la naturaleza de los puntos críticos, sino evaluar la función en ellos. Planteamos:



Prima facie vemos que todos los puntos con x = 0 son críticos. Si x  0, tenemos las siguientes posibilidades para queambas derivadas parciales sean nulas:



El primero de estos puntos pertenece a la frontera; por lo tanto lo consideraremos cuando analicemos ésta. En cuanto al segundo punto, tenemos f(2; 1) = 2.

b) Análisis de la frontera. La frontera se compone de tres tramos rectos. En x = 0 y y = 0 la función asume el valor 0. En x + y = 6 podemos escribir:

,

donde x va variando de 0 a 6. Paradeterminar en qué punto del segmento de recta x + y = 6 se produce un máximo o mínimo de esta función (en los extremos del segmento asume el valor 0), podemos derivarla:



De los dos puntos obtenidos, (0; 6) es uno de los extremos del segmento, donde la función vale 0, mientras que (4; 2) está dentro del segmento oblicuo.

c) Evaluación de la función en los puntos obtenidos. Evaluando setiene:

f(segmento x = 0) = 0
f(segmento y = 0) = 0
f(2; 1) = 2  máximo absoluto
f(4; 2) = -64  mínimo absoluto


3) Multiplicadores de Lagrange. La ecuación 2x4 + 3y4 = 32 representa el borde de la pantalla de un monitor. Si el campo eléctrico viene dado por la función

,

hallar los valores máximo y mínimo de éste sobre el borde de la pantalla.

Solución

Sea g(x; y) = 2x4 + 3y4.Tenemos:



Para obtener este resultado dividimos ambas ecuaciones abarcadas por la llave, por lo cual debemos considerar aparte el caso en que y = 0, para el cual dicha división no sería posible. Analizando todos los casos posibles tenemos:



Con estos valores tenemos f(x; y)  0,44.

Los otros dos casos son:



Comparando los tres valores obtenidos, el mínimo valor será 0,44 y el...