Criterio primera y segunda derivada

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A. GRAFICACIÓN DE CURVAS

1. f(x) = x3–2x2 + x + 1

Criterio Primera Derivada
f'(x) > 0
3x2 – 4x +1 > 0
(3x–1)·(x–1) > 0
3x–1>0  x–1>0  3x–1<0x–1<0
x>1/3 x>1 3x–1<0x–1<0
Intervalo creciente: (-∞,1/3) ∞)

f'(x) < 0
f'(x) < 0 = {f'(x) > 0} '
{(-∞, 1/3) ∞)} '
Intervalo decreciente: [1/3, 1]

Criterio SegundaDerivada
f''(x) > 0
6x – 4 > 0
x > 2/3
Intervalo concavidad hacia arriba: (2/3, ∞)

f''(x) < 0
6x – 4 < 0
x < 2/3
Intervalo concavidad hacia abajo: (-∞, 2/3)

2. f(x) = x4 -4x3

Criterio Primera Derivada
f'(x) > 0
4x3 – 12x2 > 0
4x2(x-3) > 0
x-3 > 0
x>3
Intervalo creciente: ∞)

f'(x) < 0
f'(x) < 0 = {f'(x) < 0} '
x<3
Intervalodecreciente: (-∞, 3)

Criterio Segunda Derivada
f''(x) > 0
12x2 – 24x > 0
x2 –2x > 0
x(x – 2) > 0

x>0  x–2>0  x<0  x–2<0
x>0  x>2  x<0 x<2
x>2  x<0
Intervalo concavidad hacia arriba: (-∞, 0) (2, ∞)

f ''(x) < 0
f ''(x) < 0 = { f ''(x) < 0} '
Intervalo concavidad hacia abajo: (0,2)

3. f(x) = x2 – 6x +7Criterio Primera Derivada
f'(x) > 0
2x – 6 > 0
x > 3
f'(x) < 0, complementario
Intervalo creciente: (3, ∞)
Intervalo decreciente: (-∞, 3)

Criterio Segunda Derivada
f''(x)> 0
2 > 0
Intervalo concavidad hacia arriba: (-∞, ∞)
f''(x) < 0
2 < 0
Intervalo concavidad hacia abajo: {}

4. f(x) = x3–( x – 1)2

Criterio Primera Derivada
f'(x) = 0
3x2 – 2x+2 > 0
Sin solución, no hay máximos ni mínimos
Creciente para x>1/3

Criterio Segunda Derivada
f''(x) > 0
6x – 2 > 0
x > 1/3
Intervalo concavidad hacia arriba: (1/3, ∞)f''(x) < 0
6x –24 < 0
x < 1/3
Intervalo concavidad hacia abajo: (-∞, 1/3)

B. OPTIMIZACIÓN

1.
a. Utilidad
Unidades producidas: x
Ganancias: G(x) = 2x dólares
Costos: C(x) 1000 +...
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