CRITERIOS DE SERIES ARMONICAS

CAP´
ITULO IX.
´
SERIES NUMERICAS

SECCIONES
A. Series de t´rminos no negativos.
e
B. Ejercicios propuestos.

401

´
A. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS.

Dada una sucesi´n {a1 , a2 , . . . , an , . . . }, se llama serie de t´rmino general
o
e
an , y que representaremos por
an , a la sucesi´n de sumas parciales {Sn }
o
n≥1

definida por S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , . . . , Sn =a1 + a2 + · · · + an , . . . .
Si existe S = l´ Sn , la serie
ım
n→∞

se escribe

an se dice convergente y tiene suma S y
n≥1

an = S.
n≥1

Si dicho l´
ımite es infinito o no existe, la serie

an es divergente.
n≥1

Enunciaremos a continuaci´n los criterios generales para estudiar el car´cter
o
a
(convergente o divergente) de una serie. Nos limitaremos a las series det´rminos no negativos (an ≥ 0) aunque el primer criterio es v´lido para
e
a
series generales.
1. Condici´n del resto.
o
Si una serie

an es convergente, entonces l´ an = 0.
ım
n→∞

n≥1

De aqu´ se deduce que si el t´rmino general de una serie no converge
ı
e
a cero, dicha serie es divergente.
2. Criterio de comparaci´n.
o
Dadas dos series

bn , si an ≤ bn , ∀n y

an y
n≥1

n≥1bn converge,
n≥1

an converge.

entonces
n≥1

Rec´
ıprocamente, si una serie es divergente y todos sus t´rminos son
e
mayores o iguales que los de otra serie, esta ultima es tambi´n diver´
e
gente.
3. Criterio de comparaci´n por paso al l´
o
ımite.
an
a) Si l´
ım
= L (L finito y L = 0), entonces
n→∞ bn
an converge ⇐⇒
n≥1

b) Si l´
ım

n→∞

bn converge.
n≥1

an
=0, entonces
bn
bn converge =⇒
n≥1

an converge.
n≥1

402

an
= ∞, entonces
n→∞ bn

c) Si l´
ım

bn converge.

an converge =⇒
n≥1

n≥1

Para utilizar los criterios de comparaci´n es conveniente conocer la
o
convergencia de las siguientes series:
1/np es convergente cuando p > 1 y

- Serie arm´nica: La serie
o
n≥1

divergente cuando p ≤ 1.
a · rn es convergentecuando |r| < 1

-Serie geom´trica: La serie
e
n≥1

y divergente cuando |r| ≥ 1.
4. Criterio del cociente (D’Alembert).
an+1
Sea L = l´
ım
. Entonces,
n→∞ an
a) si L < 1,

an converge;
n≥1

an diverge.

b) si L > 1,
n≥1

5. Criterio de la ra´ (Cauchy).
ız
√
Sea L = l´ n an . Entonces,
ım
n→∞

a) si L < 1,

an converge;
n≥1

an diverge.

b) si L > 1,
n≥1

6.Criterio de Raabe.
an+1
a) Si l´ n · 1 −
ım
an
b) Si l´ n · 1 −
ım

an+1
an

> 1, entonces

an converge.

< 1, entonces

an diverge.

Nota: Este criterio puede ser conveniente en los casos en que los criterios del cociente o de la ra´ no son concluyentes.
ız
7. Criterio de la integral.
Sea f : [1, ∞) → R una funci´n decreciente y f (x) > 0, ∀x. Entonces
o
∞

f (n) converge ⇐⇒f (x)dx converge.
1

n≥1

403

8. Criterio del producto (Pringsheim).
a) Si l´ np an = L ≥ 0, para alg´n p > 1, entonces
ım
u

an converge.

b) Si l´ np an = L > 0, para alg´n p ≤ 1, entonces
ım
u

an diverge.

9. Criterio logar´
ıtmico.
Si l´
ım

log 1/an
= L, entonces
log n

a)

an converge cuando L > 1.

b)

an diverge cuando L < 1.

PROBLEMA 9.1.Estudiar el car´cter de la serie
a
an =

an de t´rmino general
e

n(n + 1)
.
n2 + 2n

Soluci´n
o

Como l´
ım

n(n + 1)
= 1 = 0, la serie es divergente.
n2 + 2n

PROBLEMA 9.2.

Sabiendo que la suma de los n primeros t´rminos de una serie
e
es
5n2 − 3n + 2
Sn =
,
n2 − 1
hallar el t´rmino general y estudiar su naturaleza.
e
Soluci´n
o

Aplicamos la f´rmula an = Sn −Sn−1 y obtenemos:
o
an =

5n2 − 3n + 2 5(n − 1)2 − 3(n − 1) + 2
3n2 − 17n + 10
−
= 4
.
n2 − 1
(n − 1)2 − 1
n − 2n3 − n2 + 2n
404

Como adem´s l´ Sn = l´
a ım
ım

5n2 − 3n + 2
= 5, la serie es convergente.
n2 − 1

Observaci´n: No confundir con la condici´n necesaria de convergencia en la
o
o
que debe ser cero el l´
ımite del t´rmino general de la serie an , no del...