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CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO

El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio ( a + b)^n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.

FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO

Sea un binomio de la forma(a +b).
Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 2ab + b2
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = (a + b) . . . (a + b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = (a + b) . . . (a + b) = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = (a + b) . . .(a + b) = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

De lo anterior, se aprecia que:

a) El desarrollo de (a + b)^n tiene n +1 términos.
b) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último.
c) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta n enel último.
d) Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n .
e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n .
f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término.
g) Los términos que equidistan de los extremos tienencoeficientes iguales.

Ejemplo.
Obtener el desarrollo de 2( x −5y)^4

Solución
Haciendo a = 2 x y b = −5y

TEOREMA DEL BINOMIO
• Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos deexponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fuera diferenciación o bien por integración.
El descubrimiento de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvola intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas.
• Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.
El teorema binómico para n=2 se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.), asimismo el término «coeficiente binomial» fueintroducido por Michel Stifer en el siglo XVI.

El teorema del binomio fue descubierto en el año 1665, fue notificado por primera vez en dos cartas que fueron enviadas por el funcionario y administrativo de la Royal Society, Henry Oldenburg en el año 1676. La primera carta tenía fue fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a un pedido del filósofo, jurista y matemático alemán Gottfried Wilhelmvon Leibniz, quien quería tener conocimiento de las labores e investigaciones de matemáticos británicos sobre series infinitas. Por lo cual Newton envía el enunciado de su teorema y un ejemplo ilustrativo. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que se encuentra ante una técnica general que le permite obtener distintos resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., ydenomina algunas de sus ramificaciones por las investigaciones de Leibniz. Newton responde también con una carta en la que detalla cómo ha descubierto la serie de binomios.
A partir de este hallazgo Newton intuyó que era posible operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas.
Newton no se encargó de publicar jamás el teorema del binomio. Lo hizo el...