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Trabajo Independiente – Ciencias Básicas
Institución Universitaria de Envigado
Ficha de Consulta
Sebastián Mejía Arias
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Resumen del texto: Los Conjuntos Numéricos
Los conjuntos numéricos son agrupaciones que contienen a todos los números que existen, como los positivos(1,2,3,4,….,n), los negativos(-1,-2,-3,-4,….,-n), el cero(0), los decimales finitos(4.5,7.2,1.1), losdecimales infinitos(π:3.141619…,e,2π, etc.), entre otros tipos de números.
Todos los conjuntos numéricos tienen una recta numérica, en la cual se pueden representar todos los datos numéricos de tales conjuntos y se pueden ubicar en tal recta numérica, exceptuando a los números imaginarios.
Los conjuntos numéricos se han construido a partir de necesidades tanto humanas como matemáticas en lasiguiente forma:
1. Números Naturales: (N) Surgió de la necesidad de contar. Lo describimos así
N: {1,2,3,4,……,n}
2. Números Enteros: (Z) Surgieron para dar solución a la ecuación a+x=b, donde a, b ϵ N, tenga siempre solución, introducimos los “números negativos” y el “cero”; es decir, los números 0, -1, -2, -3,…., -n. Los números naturales, el cero y los “números negativos” conforman esteconjunto
Z: {-n,…….,-2, -1, 0, 1, 2, 3,…….,n}
3. Números Pares e Impares: El número entero “x” se llama “PAR” si lo podemos escribir como x=2m, donde m ϵ Z
PAR:{18 y -12}
18= (2) * (9) y -12= 2 * (-6)
PAR:{…..,-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,…..}
Similarmente, el número entero “x” se llama “IMOAR” so lo podemos escribir como x=2k+1, donde k ϵ Z
IMPAR:{9 y -19}
9= 2 * (4) + 1, 4 ϵ Z. -19= 2 *(-10) + 1, -10 ϵ Z
IMPAR:{………., -5, -3, -1, 1, 3, 5,…..}
4. Números Racionales: (Q) En el conjunto de los números enteros, las ecuaciones de la forma ax=b sólo tienen solución cuando “b” es múltiplo de “a”. Con el fin de que estas ecuaciones siempre tengan solución, se hace necesario construir un nuevo conjunto numérico, que son los “Números Racionales”. Este conjunto ésta formado por aquellosnúmeros que se pueden expresar en la forma b/a, donde b,a ϵ Z y a ≠ 0, es decir:
Q={ x/x=b/a; b,a ϵ Z, a ≠ 0}
Los números racionales son:
a) Los números enteros. Por ejemplo: -5 = -5/1
b) Los decimales finitos. Por ejemplo: 0.8 = 4/5 ; 83.2 = 416/5
c) Los decimales infinitos periódicos (puros y mixtos). Por ejemplo: 0.666… = 0.6 = 2/3 (Periódico puro) ; 1.285714285714 = 1.285714 = 9/7(Periódico puro) ; 4.325646464 = 4.32564 = 144044/33333 (Periódico mixto)
De lo anterior podemos afirmar que : N C Z C Q
5. Números Irracionales: (Q’) Son aquellos números que no podemos expresar como el cociente de dos enteros. Por ejemplo:
a) Los decimales infinitos no periódicos.
Ejemplo: π= 3.141592…
√2 = 1.4142….
-π= -3.141592….
-√3= -1.7320….

b) Las raíces de cualquier índice quedespués de ser simplificadas originen una nueva raíz.
Ejemplo: √8= 2√2 ϵ Q’
3√243= 3√35 = 3√33 * 32 = 3 3√9 ϵ Q’
Observemos que Q ∩ Q’
6. Números Reales: (Re) Es la unión entre los números racionales y los números irracionales; es decir: Re = Q U Q’
Una propiedad importante, denominada la propiedad de Completez, establece que: “Existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de losnúmeros reales y los puntos de una recta.
Ejemplo: Re{ Q (N,Z), Q’}
7. Números Complejos: La ecuación cuadrática x2 + 1= 0 no tiene solución en Re. Pero puede tener solución en un sistema nuevo( Extensión de Re) el cual introduciremos con las definiciones siguientes:
a) Unidad Imaginaria: La cantidad √-1 = i se llama “ Unidad Imaginaria” y cumple la propiedad siguiente: i2 = -1
b) Número ImaginarioPuro: Todo número de la forma bi, donde b ϵ Re, b ≠ 0, se llama “Número Imaginario Puro”. Este conjunto lo llamaremos:
I= {x/x = bi, b ϵ Re, b ≠ 0}
Ejemplo: 2/3 i, √2i, -10i, √-25 = -5i, son números Imaginarios Puros.

8. Números Primos: Son los números que cumplen a la ecuación: x/x = 1 y x/1 = x, x ϵ Re, y x siendo el mismo numero, es decir, solo se divide por 1 y por si mismo( tiene 2...