cualquiera

3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integralesdobles y
para las integrales triples.
3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las
aplicaciones geométricas y las físicas. En el primergrupo se
encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de
volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas
están el cálculo de: masa, momentos estáticos defiguras planas,
centros de masa y momentos de inercia para una región
bidimensional.
3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco
de laintegral doble de una función f positiva en una región
bidimensional D, ( ) D f x, y dA ∫∫ , como el volumen del sólido S
definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,
si seconsidera que f xy ( , 1 ) = , entonces la integral anterior queda
como:
( ) D D f x, y dA dA = ∫∫ ∫∫ (III.1)
Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene
que:
0 1 1
n m
ijD P i j
dA Lim A → = =
= ∑∑∆ ∫∫ (III.2)
Recuerde que la integral
doble ( ) D f x, y dA ∫∫ ,
también puede escribirse
como
( ) 0 1 1
n m * *
i j ij P i j
Lim f x , y A
→ = =
∑∑ ∆GeraldineCisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales
dobles: D dxdy ∫∫ y D dydx ∫∫, { ( ) } 2 2 D x,y x y y x y = ≥ − ∧ ≤− 2 4
Solución:
La región D se encuentra acotada por las gráficas de las
parábolas horizontales 2
xy y = − 2 y 2
x y = 4 − , tal como se puede
observar enla siguiente figura.
Figura 3.2
Región D del ejemplo 3.2
EJEMPLO 3.1
Recuerde que la gráfica
de la ecuación:
2
x = ++ ay by c
Es una parábola
horizontal
Recuerde que una región
D es de...