Cuantificadores-Algebra Superior

1.2 Cuantificadores
1.2.1

Álgebra Superior I 2012

Funciones proposicionales.

Definición. Una expresión que contiene variables y que al reemplazar éstas por
constantes determinadas se convierte en una proposición, recibe el nombre de
Función proposicional.
Ejemplo:

p(x): x < 0
p (-1): -1 < 0 V
p (3): 3 < 0
F

Definición. Dada una función proposicional p(x), un dominio parap(x) es un conjunto
talque para todo reemplazo de x por elementos del conjunto se obtiene una
proposición.
Ejemplo:
 Sea P(n) la afirmación “n es un entero impar” y sea D el conjunto de los enteros
positivos (Z+). Entonces P es una función proposicional con dominio D ya
que para cada n en D (n∈ Z+), P(n) es una proposición.


Por ejemplo, si n = 1, obtenemos la proposición “1 es un enteropar” que es
verdadera. Si n = 2, obtenemos la proposición “2 es un entero impar” que es
falsa.



Si tenemos la función proposicional
Q(x): x ∈ R
Entonces, Z, N y R son dominios de Q(x)



Sea R(x): x >0
Entonces, un dominio de R(x) es N

Definición.
Llamaremos dominio de la variable x de una función proposicional, a cualquier
conjunto de valores que puede tomar x para obtenerproposiciones.
Ejemplo
Ejemplo: Para P(x): x > 0, algunos dominios podrían ser X = N, X = Z, X = R.
No es dominio X = {a, e, i, o, u}.
Definición.
Sea P(x) una función proposicional con dominio X. Diremos que P(x) es
universalmente verdadera en X si el valor de verdad de P(x) es verdadero para cada
reemplazo de x por un elemento de X.
Ejemplo:
P(x): x > 0. P(x) es universalmente verdaderoen X = N, pero P(x) no es
universalmente verdadero en X = Z.
Carlos Jacob

Definición.
Dada una función proposicional P(x) con dominio X, se puede construir una
proposición de la siguiente forma: Para toda x ∈X, P(x)
Notación: ∀x∈ X, P(x).



1

Álgebra Superior I 2012

El símbolo ∀ se llama cuantificador universal. Esta proposición es verdadera cuando
P(x) es universalmenteverdadera en X. De lo contrario es falsa.
Carlos Jacob

Ejemplo:
 Sea P(x) la función proposicional x + 1 > x. ¿Cuál es el valor de verdad de la
proposición ∀x∈ R, P(x)?
 Sea Q(x) la función proposicional x < 2. ¿Cuál es el valor de verdad de la
proposición ∀x∈ R, Q(x)?
 ¿Cuál es el valor de verdad de ∀x∈ R, P(x), si P(x) : x2 < 10 y el dominio de
P(x) son los enteros positivos menores oiguales que 4?
 ¿Cuál es el valor de verdad de ∀x∈ R, x2 ≥ x?
 ¿Cuál es el valor de verdad de ∀x∈ Z, x2 ≥ x?
Para demostrar que un enunciado de la forma ∀x∈ X, P(x), P(x) es falso, donde P(x)
es una función proposicional, basta exhibir un valor de x del dominio X tal que P(x) sea
falso. Tal valor de x se llama contraejemplo al enunciado ∀x∈ X, P(x).
Ejemplo:
 Sea p(x): x2>0. Hallar elvalor de verdad de ∀x∈ Z, P(x).
Definición.
Dada una función proposicional P(x) con dominio X, se puede construir una
proposición de la siguiente forma:
Existe x ∈ X tal que P(x), denotada por ∃x∈X, P(x). El símbolo ∃ se llama
cuantificador existencial
Si para algún valor de x, digamos a ∈ X, se cumple que P(x) es verdadero, entonces
∃x∈X, P(x) es una proposición verdadera. De lo contrario esfalsa.
Ejemplo:
 Sea P(x): x > 3. Hallar el valor de verdad de ∃x∈R, P(x).
 Sea Q(x): x+1=x. Hallar el valor de verdad de ∃x∈R, Q(x).
 Sea P(x): x2>10. Hallar el valor de verdad de ∃x∈X, P(x), donde X representa al
conjunto de los enteros positivos menores o iguales a 4.
Observación. A pesar de que las funciones proposicionales pueden tener más de un
dominio, no todos los dominios hacenque la función proposicional sea verdadera
siempre. En el ejemplo 1, si el dominio de P(x) es R, entonces para x= -1, P(x) es
falsa, ya que -1 no es mayor que cero.
Definición. Dada P(x) una función proposicional con dominio D diremos que P(x) es
universalmente verdadera en D, si el valor de verdad de P(x) es verdadero para
todo reemplazo de x por un elemento de D.
Por ejemplo:
a) si...