cuantificadores

Cuantificadores
En lógica matemática, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dadocumplen con cierta propiedad (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:
Cuantificación universal
Cuantificación universalEl cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).
Estaafirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

Cuantificación existencial
El cuantificadorexistencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto  (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:

Existe x en A que cumple P(x).
Estaproposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.
Cuantificación existencial únicaEl cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

Se lee:
Existe unaúnica x elementos de A, que cumple P(x).





Equivalencias
Se tienen las siguientes relaciones universales:

Si: para todo x de A se cumple P(x), es equivalente a: no existe x en A que no cumpla P(x).Si: existe x en A que cumple P(x), es equivalente a: no para todo x de A, no se cumple P(x).

En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión por definición enun lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:

Si: existe un único x en A que cumple P(x), es equivalente a: para todo x, y de A, que cumple P(x) y P (y), entonces x es igual a y....