Cuarta Unidad Matematicas 4

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4 ESPACIOS VECTORIALES .

4.1 Definición de espacio vectorial y sus propiedades

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. Alos elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuacionesen derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto novacío, dotado de dos operaciones:

Los elementos: se llaman vectores.
Los elementos: se llaman escalares.
Con la operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5)tenga la propiedad:

6) tenga elemento neutro 1:

Que tenga la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:

8) distributiva por la derecha:

Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
Supongamos que el opuesto no es único,es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo
Supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo
Supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vectorneutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

*
Si
* Si a=0 es cierto. Si u = 0.
Signos equivalentes:
* .
Ejemplos de espacios vectoriales
Los cuerpos: Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
* es un espacio vectorial sobre .
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto porescalar el producto del cuerpo.
* es un espacio vectorial sobre .
* es un espacio vectorial sobre .
Sucesiones sobre un cuerpo : El espacio vectorial más conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones:
(u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn).
a(u1, u2, ..., un)=(au1,au2, ..., aun).
Las sucesiones infinitas de K son espacios vectoriales con las operaciones:
(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...).
a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).
El espacio de las matrices , , sobre K, con las operaciones:

También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de en las cuales se defina las operacionessuma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices , así por ejemplo tenemos las cajas sobre que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función genérica.

4.2 Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades
Definición de subespacio vectorial
Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:
i)
ii)...