Cuatrinomio cubo perfecto

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

x3 + 6x2  +  12x   +  8 = (x + 2)3

x                     2
    3.x2.2  3.x.22
     6x2     12x
Las bases son x y 2. Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".

EXPLICACIÓN:

1) Busco dos términosque sean "cubos" o "potencias terceras" (¿qué es un "cubo"?): Son x3 y 8. Porque, es evidente que x3 es "x elevado a la tercera". Y 8 es igual a "2 elevado a a la tercera", ya que 23 = 8. 
Bajo entonces las "bases" (¿a qué llamo las "bases"?), que son x y 2.

Nota: El término "6x2" no puede ser uno de los "cubos", por dos razones: El número 6 no tiene raíz cúbica exacta (¿qué es "raíz cúbica",y "exacta"?), y x2 no es una potencia tercera (¿por qué?). Y el término "12x" no puede ser "cubo", por dos razones: El número 12 no tiene raíz cúbica exacta, y "x" no es una potencia tercera.
(Los que no pueden ser "cubos")

2) Determinadas ya las dos bases (x y 2), efectúo los dos "triple-productos"
(¿qué es un triple-producto?):

3.x2.2          

(Tres, por la primera base elevada alcuadrado, por la segunda base: 3.a2.b)

Lo que dá como resultado: 6x2  (¿por qué?). Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x3 + 6x2 + 12x + 8). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:

3.x.22

(Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado: 3.a.b2)

Lo que dá como resultado 12x (¿porqué?). Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el tercer término (x3 + 6x2 + 12x + 8). "Dió bien". 

Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto", porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos". (conceptos)

3)El resultado de la factorización es, entonces:

(x + 2)3 

O sea: "la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

¿Por qué busco "cubos", "bases", y verifico "triple-productos"?

Es por la fórmula del cubo de un binomio, que es así: (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3. 
Es una fórmula que me permite elevar a la tercera a una suma o resta dedos términos (binomio). Y en el resultado aparecen: "dos cubos" (a3 y b3) y "dos triple-productos" (3.a2.b y 3.a.b2) . El Caso se basa en esta fórmula. (más sobre esta fórmula)

Cuando tenemos que factorizar un polinomio de 4 términos (cuatrinomio), podemos sospechar que es el resultado de aplicar esa fórmula (a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3). Entonces, buscamos que nuestro polinomio concuerde con laforma que tiene ese resultado. Y esa forma consiste en: dos cubos, y dos triple-productos.
Por eso buscamos los 2 cubos; y si los hay, probamos los triple-productos con las bases de esos cubos (los dos "triple-productos"). Si los triple-productos dan correctamente, estamos ante un polinomio que es resultado de usar esa fórmula. Y entonces podemos decir que es igual a la suma de dos términos,elevada al cubo: (a + b)3.

¿Qué es raíz cúbica? ¿Por qué digo raíz cúbica "exacta"?

Así como a la potencia tercera se le llama "cubo", a la raíz de índice 3 se le llama "raíz cúbica". También se le dice "raíz tercera", o "raíz tres". Ejemplo: = 2.

Y cuando digo que 6 no tiene "raíz cúbica exacta", me refiero a que la raíz cúbica de 6 no dá un número entero ni racional, sino un número coninfinitas cifras decimales (irracional). Basta usar la calculadora para ver el resultado: 1,81712059... Digo que no es "exacta", porque no hay ningún número (entero o racional) que elevado a la potencia 3 dé como resultado 6.

¿A qué números puede estar elevada una letra para que pueda ser una potencia tercera (o "cubo") que nos sirva en este tema?

Tiene que estar elevada a la 3, 6, 9, 12,...