Cuatro

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Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12,..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremoslos números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
[pic]
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
[pic]
8,    3, -2, -7 ,    -12.

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
ai + aj = a1 + an[pic]
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

[pic]
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
[pic]

Ejercicios resueltos progresiones aritméticas

1

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, yel sexto es 16. Escribir la progesión.
a 4 = 10;          a 6 = 16
 a n = a k + (n - k) · d
16 = 10 + (6 - 4) d;        d= 3
a1= a4 - 3d;
a1 = 10 - 9 = 1
1, 4, 7, 10, 13, ...

2

Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.
a= 3,      b= 23;       
 [pic]
d= (23-3)/(3+1) = 5;
3,   8, 13, 18,   23.

Ejercicios resueltos progresiones aritméticas

3

Interpolar tres mediosaritméticos entre 8 y -12.
[pic]
8,    3, -2, -7 ,    -12.

4

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
a 1 = − 1;          a 15 = 27;      
a n = a 1 + (n - 1) · d
27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2
S= (-1 + 27) 15/2 = 195

5

Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de5.
a1= 5;      d= 5;        n = 15.
a n = a 1 + (n - 1) · d          
  [pic]
a15 = 5 + 14 · 5 = 75
S15 = (5 + 75)· 15/2 = 600.

6

Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
a1= 5;        d= 10 ;          n= 15.
a15= 5+ 14 ·10= 145
S15 = (5 + 145)· 15/2 = 1125

7

Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.
a1= 6;        d= 2;       n=15.
a15 = 6 + 14 · 2 = 34
S15= (6 + 34) · 15/2 = 300

8

Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
360= ( a1 + a4) · 4/2
a4= a1 + 3 · 25
360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2
a1 = 105/2 = 52º 30'      a2 = 77º 30'
a3 = 102º 30'                a4 = 127º 30'

9

Elcateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.
a2 = 8 + d;            a3 = 8 + 2d
(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64
d = 8
8, 16, 24.

10

Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 311/2.
Término central [pic]x
1º [pic]x - d
3º [pic]x + d.
x − d+ x + x + d = 27
x = 9
(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511 / 2
d = ± 5 / 2
13 / 2, 9, 23/2
23 / 2, 9, 13/2

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
[pic]
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2
12 / 6 = 2
24 / 12 = 2
48 / 24 = 2
r= 2.

Término general de una progresión...
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