curvas elipticas

Carlos Ivorra Castillo

CURVAS EL´IPTICAS

La aritm´etica es una clase de conocimiento en
el que las mejores naturalezas deben ser entrenadas,
y que no debe ser abandonado.
´n
Plato

´Indice General
Introducci´
on

ix

Cap´ıtulo I: Preliminares de geometr´ıa algebraica
1.1 Variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . ..
1.3 Variedades cuasiproyectivas . . . . . . . . . . .
1.4 Variedades complejas . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Curvas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . .

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Cap´ıtulo II: La geometr´ıa de las2.1 Ecuaciones de Weierstrass .
2.2 La estructura de grupo . . .
2.3 C´
ubicas singulares . . . . .
2.4 Isogenias . . . . . . . . . . .
2.5 Curvas conjugadas . . . . .

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curvas el´ıpticas
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Cap´ıtulo III: El ´
algebra de las curvas el´ıpticas
3.1 Las multiplicaciones enteras . . .. . . . . .
3.2 La isogenia dual . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Curvas supersingulares . . . . . . . . . . . .
3.4 Los m´odulos de Tate . . . . . . . . . . . . .
3.5 El anillo de endomorfismos . . . . . . . . .

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Cap´ıtulo IV: Curvas el´ıpticas sobre cuerpos finitos
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4.1 Puntos racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2Curvas supersingulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 El n´
umero de curvas sobre un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Cap´ıtulo V: Grupos formales
5.1 Desarrollos de Taylor en O . . . . . . .
5.2 Grupos formales . . . . . . . . . . . . .
5.3 Grupos formales sobre cuerpos m´etricos
5.4 Grupos formales en caracter´ıstica prima
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´INDICE GENERAL

vi

Cap´ıtulo VI: Curvas el´ıpticas sobre cuerpos locales
6.1 Ecuaciones minimales . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Reducci´on de curvas el´ıpticas . . . . . . . . . . . .
6.3Puntos enteros y puntos de torsi´
on . . . . . . . . .
6.4 La topolog´ıa m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cap´ıtulo VII: Curvas el´ıpticas sobre cuerpos
7.1 El discriminante m´ınimo . . . . . . . . . .
7.2 El subgrupo de torsi´
on . . . . . . . . . . .
7.3 El teorema d´ebil de Mordell-Weil . . . . .
7.4 Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 El teorema de Mordell-Weil .. . . . . . .

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num´
ericos
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Cap´ıtulo VIII: Elrango de una curva el´ıptica
8.1 Curvas con tres puntos de orden 2 . . . . .
8.2 Los grupos de Selmer y Tate-Shafarevich . .
8.3 Curvas con un punto de orden 2 . . . . . .
8.4 Curvas sin puntos de orden 2 . . . . . . . .

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