Curvas en el espacio

CURVAS EN EL PLANO
LA BRUJA DE AGNESI ****La ecuación genérica de la bruja de Agnesi en coordenadas cartesianas es: y = 8a3/(x2 + 4a2) La ecuación genérica de la bruja de Agnesi en ecuaciones paramétricas es: x = 2a cot θ y = a(1 - cos 2θ ) CARACOL DE PASCAL *** La ecuación genérica del caracol de pascal en coordenadas polares es: r = b + a cos θ

CARDIOIDE ***Es la curva descrita por un unpunto P de una circunferencia de radio a que rueda por fuera de otra circunferencia de radio a. Es un caso particular del caracol de Pascal. La ecuación genérica de la cardioide en coordenadas cartesianas es: (x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2) La ecuación genérica de la cardioide en coordenadas polares es: r = 2a(1 + cosθ) CÓNICAS *** Las curvas (como elipse, la parábola y la hipérbola) que se obtienenal seccionar un cono por un plano se llaman cónicas.
Si desarrollamos la ecuación (ax + by + c)2 = 0 podemos expresarla de esta forma:

a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0 Esta es la ecuación general de cualquier cónica. Esta ecuación se puede expresar elegantemente en forma matricial: Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, se dice que la cónica esdegenerada y no degenerada en caso contrario. La ecuación general puede simplificarse (girando y trasladando los ejes coordenados) de forma que sólo queden los términos elevados al cuadrado y el término independiente. Esta forma de la ecuación se llama ecuación reducida o canónica de la cónica. Haciendo los cambios oportunos la ecuación general se puede transformar en una de los siguientes: x2 / a2 +y2 / b2 = 1 (elipse, cuando a = b circunferencia). x2 / a2 + y2 / b2 = -1 (elipse imaginaria). x2 / a2 + y2 / b2 = 0 (par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real). x2 / a2 - y2 / b2 = 1 (hipérbola). x2 / a2 - y2 / b2 = 0 (par de rectas reales que se cortan). x2 - 2py = 0 (parábola). y2 - 2px = 0 (parábola). x2 - a2 = 0 (par de rectas reales paralelas). x2 + a2 = 0 (par de rectasimaginarias paralelas). x2 = 0 (par de rectas reales coincidentes).

Conversión de la ecuación general a su forma reducida o canónica
Sea a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0 la ecuación que tenemos que convertir a su forma reducida. Haciendo un giro de ángulo a, las nuevas coordenadas (x ', y ') quedarían de acuerdo con las fórmulas de giro de coordenadas (ver Coordenadas rectangulares)x = x'cosa - y'sena y = x'sena + y'cosa Sustituyendo en la ecuación general las fórmulas del giro de coordenadas y operando nos queda a00 + 2a'01x' + 2a'02y' + a'11x'2 + 2a'12x'y' + a'22y'2 = 0 Los más atentos se habrán dado cuenta que a00 no tiene el ' y puede que crean que es un error. Pues no. a00 no cambia (se dice que es un invariante). Los más valientes que hagan las operaciones comprobaránlo anterior y también que 2a'12 = - (a11 a22)sen(2a) + 2a12cos(2a). Para que nos desaparezca el término en x'y' tenemos que hacer a'12 = 0, entonces:

(a11 - a22)sen(2a) = 2a12cos(2a) . Dividiendo todo por 2a12cos(2a) y despejando queda: tan(2a) = 2a12 / (a11 - a22) Por lo tanto, eligiendo el ángulo de giro de tal forma que la tangente del doble del ángulo sea igual al cociente indicado nosdesaparece el término en xy y la ecuación nos queda así: a00 + 2a'01x' + 2a'02y' + a'11x'2 + a'22y'2 = 0 Ahora haciendo una traslación de los ejes (los nuevos serán x'', y'') eliminaremos los términos en x' e y'. Las fórmulas de traslación son (ver Coordenadas rectangulares): x' = x'' + h y' = y'' + k Sustituyendo en la ecuación general las fórmulas de la traslación de coordenadas y operando nosqueda a''00 + 2a''01x'' + 2a''02y'' + a'11x''2 + a'22y''2 = 0 Los valientes que lo hagan verán que a''01 = a'11h + a'01 y que a''02 = a'22k + a'02 Para que a''01 = 0 tenemos que hacer h = - a'01/a'11 . Claro que esto sólo se puede hacer si a'11 no es cero. Para que a''02 = 0 tenemos que hacer k = - a'02/a'22 . Claro que esto sólo se puede hacer si a'22 no es cero LA CISOIDE.

*** La cisoide es el...