Superficies Y Curvas En El Espacio Tridimensional

Superficies y Curvas en el Espacio Tridimensional:
La ecuación de una superficie en el espacio tridimensional puede escribirse como f(x, y, z) = 0, y se denomina ecuación implícita de la superficie. Los puntos cuyas coordenadas (x, y, z) satisfacen dicha ecuación forman parte de la superficie. Un ejemplo es la esfera de radio “R” con centro en (x0, y0, z0):
(x – x0)^2 + (y – y0)^2 + (z – zo)^2 =R^2.
Otra forma de escribir la ecuación de una superficie es mediante el uso de parámetros. En general, si “u”, “v” pertenecen a “R”, una superficie podrá escribirse como:
x = f1(u, v).
y = f2(u, v).
z = f3(u, v).
Éstas se conocen como las componentes paramétricas de la superficie. Veamos por ejemplo las de la esfera (coordenadas esféricas):
x = R Senσ CosΦ.
y = R Senσ SenΦ.
z = R Cosσ.
Otroejemplo. Consideremos el cilindro de radio “R” y que tiene como eje el eje “z”. Los puntos que se encuentran sobre el cilindro verifican que su distancia al eje debe ser “R”, de modo que tenemos la ecuación:
x^2 + y^2 = R^2, para cualquier valor de “z”.
Sus ecuaciones paramétricas podrían ser (coordenadas cilíndricas):
x = R CosΦ.
y = R SenΦ.
z = z.
Si intersecamos dos superficies tendremos en generaluna curva, de modo que al conjunto de de ecuaciones:
f1(x, y, z) = 0.
f2(x, y, z) = 0.
se les denomina a veces ecuación de una curva en forma implícita.
Consideremos las ecuaciones:
x^2 + y^2 = R^2.
x = h.
Se trata de un cilindro de radio “R” y un plano paralelo al plano “xy” que pasa por “x = h”. Tomadas en conjunto, esas dos ecuaciones describen una circunferencia de radio “R” centrada en (0,0, h).
Otra forma de escribir la ecuación de una curva en 3 dimensiones es mediante un cierto parámetro, con lo cual tenemos las ecuaciones paramétricas de la curva:
x = g1(t).
y = g2(t).
z = g3(t).
En el caso de la circunferencia anterior tendríamos:
x = R Cost.
y = R Sent.
z = h.
Finalmente, una curva y una superficie intersecan normalmente en uno o varios puntos.
Superficies de Revolución:Supongamos una curva en el plano “xz” dada mediante la ecuación z = f(x). Si giramos esta curva alrededor del eje “z”, cada punto de la curva describirá una circunferencia con centro en el punto (0, 0, z0), y radio “x0″. Los puntos de esta circunferencia verifican entonces:
x^2 + y^2 = x0^2.
z = z0.
Tenemos entonces “z0 = f([x^2 + y^2]^1/2). La ecuación de la superficie de revolución generada podemosescribirla como:
z = f([x^2 + y^2]^1/2) = f(r).
Superficies Cilíndricas:
Sea “γ” cierta curva en el espacio y sea “¬u” una dirección. Denominaremos superficie cilíndrica  de curva directriz “γ” y de generatriz “¬u” a la superficie contruida haciendo pasar por cada punto de “γ” una recta paralela a “¬u”.
Consideremos por ejemplo la siguiente elipse en el plano “xy”:
x0^2 / a^2 + y0^2 / b^2 = 1.
Sitomamos la generatriz paralela al eje “z” (ux = uy = 0, uz = 1), tendremos la ecuación de un cilindro elínptico de generatriz “z”:
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.
Si tomamos, sin embargo, la recta “x = z, y = 0″ por generatriz, obtendremos un cilindro elíptico de generatriz “x = z, y = 0″ (ux = uy = 0, uz = 1):
(x – z)^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.
Superficies Cónicas:
Sea “γ” una curva arbitraria y “O” unpunto fuera de ella. Tracemos una recta por cada punto de “γ” que pasa por “O”. El conjunto de puntos situados en estas rectas se denomina superficie cónica. “γ” es la directriz, “O” es el vértice, y cada recta “l” que pase por “γ” y “O” se denomina generatriz.
Supongamos que el vértice está situado en el origen de coordenadas, y tomemos como generatriz una recta que pase por “O” y por un punto(x0, y0, z0) de la curva “γ”. Las ecuaciones paramétricas de esta generatriz serán:
x = t x0.
y = t y0.
z = t z0.
Y su ecuación implícita es:
f1(x0, y0, z0) = 0.
f2(x0, y0, z0) = 0.
Como (x0, y0, z0) pertenece a la curva, y por lo tanto definible en general por medio a dunas ecuaciones paramétricas, ha de verificarse que:
x0 = g1(u).
y0 = g2(u).
z0 = g3(u).
de donde:
x = t g1(u).
y = t g2(u).
z = t...