Curvas Planas

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Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Durante los Juegos Olímpicos de Invierno de 2002 aparecieron iluminados, en lo alto de una montaña en Salt Lake City, los aros olímpicos. Al instalar las luces de los aros se puso mucho cuidado en minimizar el impacto ambiental. ¿Cómo puede calcularse el área comprendida por los aros? Explicar.

Para representar gráficamente unaecuación en el sistema de coordenadas polares, hay que trazar una curva en torno a un punto fijo llamado polo. Considérese una región limitada por una curva y por los rayos que pasan por los extremos de un intervalo de la curva. Para aproximar el área de tales regiones se usan sectores circulares. En este capítulo, se verá cómo puede emplearse el proceso de límite para encontrar esta área.
HarryHowe/Getty Images

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CAPÍTULO 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Sección 10.1

Cónicas y cálculo
• Entender la definición de una sección cónica. • Analizar y dar las ecuaciones de parábola utilizando las propiedades de la parábola. • Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse. • Analizar y dar las ecuaciones de lahipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola.

Secciones cónicas
Toda sección cónica (o simplemente cónica) puede ser descrita como la intersección de un plano y un cono de dos hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro cónicas básicas el plano de intersección no pasa por el vértice del cono. Cuando el plano pasa por el vértice, la figura que resulta es una cónica degenerada,como se muestra en la figura 10.2.

Bettmann/Corbis

HYPATIA (370-415 A.C.) Los griegos descubrieron las secciones cónicas entre los años 600 y 300 a.C. A principios del periodo Alejandrino ya se sabía lo suficiente acerca de las cónicas como para que Apolonio (269-190 a.C.) escribiera una obra de ocho volúmenes sobre el tema. Más tarde, hacia finales del periodo Alejandrino, Hypatia escribióun texto titulado Sobre las cónicas de Apolonio. Su muerte marcó el final de los grandes descubrimientos matemáticos en Europa por varios siglos. Los primeros griegos se interesaron mucho por las propiedades geométricas de las cónicas. No fue sino 1 900 años después, a principios del siglo XVII, cuando se hicieron evidentes las amplias posibilidades de aplicación de las cónicas, las cualesllegaron a jugar un papel prominente en el desarrollo del cálculo.

Circunferencia Secciones cónicas
Figura 10.1

Parábola

Elipse

Hipérbola

Punto Cónicas degeneradas
Figura 10.2

Recta

Dos rectas que se cortan

Existen varias formas de estudiar las cónicas. Se puede empezar, como lo hicieron los griegos, definiendo las cónicas en términos de la intersección de planos y conos, o sepueden definir algebraicamente en términos de la ecuación general de segundo grado Ax 2
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para conocer más sobre las actividades de esta matemática, consultar al artículo “Hypatia and her Mathematics” de Michael A. B. Deakin en The American Mathematical Monthly.

Bxy

Cy 2

Dx

Ey

F

0.

Ecuación general de segundo grado.

Sin embargo, un tercer método en elque cada una de las cónicas está definida como el lugar geométrico (o colección) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica, funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define como el conjunto de todos los puntos (x, y) que son equidistantes de un punto fijo (h, k). Esta definición en términos del lugar geométrico conduce fácilmente a la ecuación estándar o canónica de lacircunferencia x h
2

y

k

2

r 2.

Ecuación estándar o canónica de la circunferencia.

SECCIÓN 10.1

Cónicas y cálculo

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Eje Parábola Foco p Vértice Directriz d1 d1 d2

Parábolas
Una parábola es el conjunto de todos los puntos (x, y) equidistantes de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo, fuera de dicha recta, llamado foco. El punto medio entre el foco...