Curvas Polares

CURVAS EN EL PLANO POLAR

TEMA : CURVAS EN EL PLANO POLAR

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CURVAS EN EL PLANO POLAR

* SISTEMA DE COORDENADAS POLARES.

Nota: El ángulo  se puede trabajar en grados sexagesimales ó radianes (  radianes = 180 ° ) pero es preferible su manejo en radianes. * Ejercicio. Ubicación de puntos en coordenadas polares A( 4 , /6 ) B( 6 , /3 ) C( 2 , 3/2 ) D( - 4 , 2/3 ) E( 4 , - 11/6)F( - 4 , 7/6 ) G( - 4 , - 5/6 )

Como se observa en el esquema, muchas posibles coordenadas sirven a un mismo lugar geométrico en el sistema polar r ≥ 0 0 ≤  ≤ 2

Por esa razón se acostumbra tomar a

y

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* Ecuaciones de transformación de sistema cartesiano a sistema polar y viceversa

x = r cos  y = r sen      = ang tan ( y/x ) r = √ x2 + y2* Ejercicio: Transforme los siguientes puntos en coordenadas polares a coordenadas cartesianas. A( 3 , /3 ) B( 4 , 2/3 ) C( 5 , 4/3 ) D( 2 , 5/3 ) E( 6 , /2 ) F( 0 , 11/6 )

* Ejercicio: Transforme los siguientes puntos en coordenadas cartesianas a coordenadas polares. A( 3 , - 4 ) B( 5 , 6 ) C( - 3 , 4 ) D( - 5 , - 6 )

* Ejercicio: Transforme las siguientes ecuaciones polares acartesianas. r = 3 5 + sen  r = 2 4 – 6 cos  r = 4 cos   = 5 / 4

r = 6 sen 

r =

4 2 – 2 sen 

r = 8

* Ejercicio: Transforme las siguientes ecuaciones cartesianas a polares. x2 + y2 + 7x – 9y + 4 = 0 x2 + 3x – 2y + 1 = 0

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* Distancia entre dos puntos en coordenadas polares.

Usando la ley de los cosenos en el triángulo

d = √ r12 + r22 – 2 r1r2 cos ( 2 – 1 )

* Ejercicio: Determine la distancia entre los puntos A( 4 , /6 ) y B( 7 , 2/5 )

* Ecuación General Polar de una Recta.

En toda recta L existe un punto N( p ,  ), que es el más cercano de la recta al polo, y por lo tanto el radio p es perpendicular a la recta L, de donde: cos (  –  ) = p r

entonces

r =

p cos

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*Ecuación polar de una recta que contiene al polo

Este es un caso particular, ya que el punto N( p ,  ) no tiene su dirección definida por estar en el Polo. Entonces, lo que se hace es definir a la recta por su ángulo de inclinación, el cual es el mismo para cualquier punto sobre la recta.

=c

donde c es constante

* Ecuación polar de una recta Horizontal Del esquema  = 90° por lo quecos (  –  ) = cos (  – 90° ) = sen  y el valor de p es p = r1 sen 1

Entonces, al sustituir en la ecuación general de la recta r = r1 sen 1 = p sen  sen 

donde p = constante

Nota: Si p es positivo, la recta está por arriba del eje polar, y si es negativo está por debajo del eje polar.

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* Ecuación polar de una recta Vertical

Del esquema  = 0°y p es p = r1 cos 1 Entonces, al sustituir en la ecuación general de la recta r = r1 cos 1 = cos  p cos 

donde p = constante Nota: Si p es positivo, la recta esta a la derecha del polo, y si es negativo esta a la izquierda del polo

* Ejercicio: Determine la ecuación polar de una recta: a) Si tiene como punto Normal a N( 3 , /6 ) b) Si contiene a los puntos A( 0 , 0 ) y B( 7 , 2/3 ) c)Si es horizontal y contiene al punto P( 5 , 5/3 ) d) Si es vertical y contiene al punto P( 6 , 5/6 ) Ejercicio: Dibuje la gráfica de las siguientes rectas en coordenadas polares. r = 3 cos  r = -4 3 sen  r = 4 cos (  – /4 )

r =

4 cos (  – 5/4 )

r =

5 cos (  – 2/3 )

 =  9

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* Ecuación Polar de una Circunferencia La circunferencia tienecentro en C( c ,  ) tiene radio a. Un punto cualquiera de la circunferencia tiene coordenadas P( r ,  ) Del triángulo que se forma con el POLO, el centro C y el punto P, y aplicando la ley de los cosenos, obtenemos: r2 + c2 – 2rc cos (  –  ) = a2

y

* Ecuación polar de una circunferencia con centro en el polo y radio a Como el centro de la circunferencia esta en el POLO, todos los...