curvas spline

CURVAS SPLINE

Es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.
En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomiosde grado elevado.
Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.
Existen tres tipos:
a)  Interpolación Segmentaria Lineal:
Este es el caso mássencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.
Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamentepor los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.

b)  Interpolación Segmentaria Cuadrática
En este caso, los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener laforma P(x) = ax² + bx + c
Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar como condiciones:
Que laspartes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.
c)  Interpolación Segmentaria Cúbica

En este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimoslos Splines en [m,n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d
En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremosaproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.
Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.
Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora nonos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos.
La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar
Splines cúbicos naturales
Splines de Hermite
Splines Cardinales





SUPERFICIES

1. Cuadráticas:

Se denomina asi al conjunto de puntos del espacio euclidiano tridimensional cuyas coordenadassatisfacen una ecuación de la forma de una ecuación que debe tener las siguientes condiciones:

Estar presente las tres variables (x,y,z).
Ser una expresión polinómica de segundo grado.
Al menos dos de las variables debe estar elevadas al cuadrado.



Clasificación

Las superficies cuadráticas se clasifican en seis grandes familias:

1. Esfera.

2. Elipsoides.

3. Paraboloides....