Splines cubicos

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SPLINES CÚBICOS.

Spline cúbico natural

Supongamos, por simplicidad, que tenemos 7 puntos: ..., . Buscamos los polinomios de grado 3 que van a componer el spline:


Entonces tenemos: 4 6 = 24 incógnitas. En principio, habría que plantear y resolver un sistema lineal de 24 ecuaciones con 24 incógnitas. Esa tarea sería complicada.
Afortunadamente, puede demostrarse que el problemase puede simplificar de forma notable. La demostración es sencilla pero laboriosa, así que no lo vamos a ver.
Supongamos que indicamos por , , ..., , que son los valores de la segunda derivada(desconocidos) en los nodos.
Vamos a ver cómo el problema de cálculo de los splines queda reducido a la resolución de un sistema lineal donde las incógnitas son las derivadas segundas anteriores. Una vezcalculadas esas derivadas segundas, simplemente utilizando unas fórmulas adecuadas, podremos recuperar los 24 coeficientes del spline.
En el caso concreto de un spline cúbico natural o con fronteralibre: y . Por lo tanto, en este caso sólo tenemos 5 incógnitas: ..., (las derivadas segundas del spline en los nodos intermedios). Pues bien, se demuestra que éstos números pueden obtenerseresolviendo el siguiente sistema:
(1)

siendo para

Este sistema es muy fácil de resolver porque es tridiagonal. Puedes hacerlo, como vimos en las prácticas, por el método detriangulación de Gauss o por el método iterativo de Gauss-Seidel.

Una vez resuelto este sistema, se obtienen los coeficientes de spline mediante:

(2)para los valores .
Estas fórmulas se pueden generalizar fácilmente para cualquier conjunto de nodos.

Ejemplo: La relación agua-cemento que se debe poner a la mezcla para hacer hormigónnos proporciona la resistencia final que se le quiere dar al hormigón. Se tienen los siguientes datos:
x=Agua/Cemento[%] 40 45 50 55 60 65 70
y=Resistencia[kg/cm2] 390 340 290 250 210 180 160...
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