Quartic Splines

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN

APLICACIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS

CIMAS CAÑETE XIMENA

PRIMER TRABAJO FINAL: QUARTIC SPLINESQUARTIC SPLINES
Quartic Forward Spline
De acuerdo con Adams (2001), el método de interpolación que garantiza la interpolación más suave de la continua tarifa instantánea del forward es una quarticspline de la curva continua. Otros que hicieron estos estudios fueron Van Deventer & Inai (1997), Adams & Van Deventer (1994), y Lim & Xiao (2002). Una variación de este método es implementada en laInvestigación Financiera Quant (2003).
Supóngase y , conocidas. Para completar los requisitos necesarios para f, los coeficientes () deben cumplir .

Figura. Curvas bajo diferentes métodos deinterpolaciones cúbicas para tarifas dadas.
Dados los coeficientes, el valor de la función en el término T será:


Donde




Requerimos continuidad de las funciones antes vistas, por esto:Entonces, tenemos 5n-8 ecuaciones en 5n-5 variables. Por esto necesitamos las tres condiciones siguientes:



Lo que nos lleva a la siguiente matriz.


La primera ecuación de arriba, esla primera condición extra, mientras que las dos últimas ecuaciones de arriba, son las otras dos.
Las malas noticias son, que al igual que con el método de Cubic Splining, no garantiza la ausenciade tasas negativas. Estos métodos necesitan tanto criterio, que cualquier rigidez se pierde completamente en el sistema. Aunque podemos tener grandes e increíbles funciones en la curva de salida. Porejemplo, si tuviéramos la siguiente curva:

Entonces, el quartic spline tiene valores negativos. Ajustando el 6º año, de una tasa del 2% al 3%, tenemos una curva como la siguiente:


QUARTIC CURVESPLINE
El problema surge en Adams (2001) pues puede que no conozcamos las tasas de entrada en el spline, conocemos las tasas libres de riesgo por ellas mismas. Se puede argumentar que el método de...