Curvatura Normal

Geometr´ Diferencial - Curvatura Normal
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Ever Elias V´squez Alvarez
a
Diciembre 2012
El Operador forma mide el combamiento de una superficie en las distintas
direcciones posibles en cada uno de sus puntos.
Ser´ util disponer de una fuci´n real, denominada curvatura normal, que nos
a
o
proporcione la misma informaci´n.
o

Figura 1: Curvatura Normal

Definici´n 1. Una direcci´n Lsobre una Superficie Regular M en un punto
o
o
p es un Subespacio 1-dimensional del espacio tangente Mp

1

Definici´n 2. Sea up un vector tangente a una Superficie Regular M ⊂ R3
o
con ||up || = 1. La curvatura normal de M en la direcci´n de up es
o
k(up ) = S(up ) uP
En general, si vp es un vector no nulo arbitrario tangente a M en p definimos
k(vp ) =

S(vp ) vP
||vp ||2

Lema 1.Sea L una direcci´n en espacio tangente Mp de una Superficie
o
3
Regular M ⊂ R . Entonces la curvatura normal K(vp ) es la misma para
todos los vectores tangentes no nulos (vp ) en L.

Figura 2:
Demostraci´n. Sea vp = 0p , wp = 0P con vp , wP ∈ L por definici´n L es un
o
o
subespacio 1-dimensional del espacio tangente MP esto es L es una recta de
Mp . Ahora bien
como vp , wP ∈ L =⇒ wp =αvp con α ∈ R
luego

2

S(wp ) wP
definici´n de curvatura
o
||wp ||2
S(αvp ) αvp
=
wp = αvP
||αvp ||2
αS(vp ) αvP
=
El operador forma es una aplicaci´n lineal
o
α2 ||vp ||2
S(vp ) vP
=
||vp ||2

k(wp ) =

por tanto
k(wp ) =

S(vp ) vP
= k(vp )
||vp ||2

Definici´n 3. Sea L una direcci´n en un espacio tangente Mp siendo M ⊂
o
o
R3 una Superfice Regular. Si lacurvatura normal en la direcci´n L es cero,
o
se dice que L es unja direcc´n asint´tica. An´logamente si la curvatura
o
o
a
normal se a nula sobre un vector tangente vp de M , se dice que vp es un
vector asint´tico.
o
Definici´n 4. Sea M una Superficie Regular en R3 y p ∈ M . Los valores
o
m´ximo y m´nimo de la curvatura normal k de M en p se denominan curvaa
ı
turas principales de M en p yse denotan por k1 y k2 . los vectores unitarios
e1 , e2 ∈ Mp en los cuales se alcanzan estos valores extremos se denominan
vectores principales.
Las direcciones correspondientes se denominan direcciones principales.
Las curvaturas principales miden los convamientos m´ximo y m´nimo de una
a
ı
Superficie Regular M en cada punto p ∈ M .
Lema 2. Sea up un vector con longitud unitaria y tangentea M en un punto
p y sea β una curva con velocidad unitaria y tal que β(0) = p y β (0) = up
entonces
k(up ) =

0
κ[β](0) cos θ
3

si
si

κ[β](0) = 0
κ[β](0) = 0

siendo κ[β](0) = 0 la curvatura de β en 0 y cos θ el coseno del ´ngulo que
a
forman la normal principal N(0) de β y la norma unitaria U(p) de la Superficie.
Demostraci´n. recordemos que si:
o
β : I −→ R3 es una curva derapidez unitaria entonces:
i. La funci´n κ[β] : I −→ R dada por κ[β](t) = ||β (t)|| en particular
o
κ[β](0) = ||β (0)|| se llama curvatura de β.
ii. La funci´n T [β] : I −→ R3 dada por T [β](t) = β (t) en particular
o
T [β](0) = β (0) se llama campo de vectores tangentes unitaios a β.
iii. N(t) = T [β](t) en particular N(0) =
κ[β](t)
normal principal.

T [β](0)
κ[β](0)

se llamacampo de vectores

iv. La terna de Frenet {τ, N, B} es una base ortonormal para R3 en cada
punto de β luego τ, N, B son vectores unitarios.

Si κ[β](0) = 0

por hipotesis ||up || = 1

k(up ) = S(up ) up definici´n cuadratura normal en la direci´n de up
o
o
= S(β (0)) β (0) hipotesis up = β (0)
= β (0) U(p) Lema 14.3 β (0) U (p) = S(β (0)) β (0)
= κ[β](0)[N(0) U(p)]
= 0[N(0) U(p)] porqueκ[β](0) = 0
=0
Luego

k(up ) = 0

Supongamos que κ[β](0) = 0

||up || = 1

k(up ) = S(up ) up definici´n cuadratura normal en la direci´n de up
o
o
= S(β (0)) β (0) hipotesis up = β (0)
= β (0) U(p) Lema 14.3 β (0) U (p) = S(β (0)) β (0)

4

Luego
β (0) = ||β (0)||

= κ[β](0)

β (0)
||β (0)||

T [β](0)
κ[β](0)

= κ[β](0)N(0)
Por tanto
β (0) U(p) = κ[β](0)[N(0)...