Cálculo Diferencial

Centro de Bachillerato Tecnológico, industrial y de servicios #13

Cálculo

Profesora Hilda Guzmán Mendoza

“Derivadas y Continuidad de funciones trigonométricas”

Alan Flores Rodríguez

4° “C”

Xalapa, Ver. Lunes 23 de abril de 2012

INTRODUCCIÓN
En el siguiente trabajo se abordarán los temas de “derivadas”, “funciones trigonométricas”, “tipos de funciones trigonométricas”. Paracomenzar debemos conocer los siguientes conceptos:
Continuidad: Una función ƒ(x) es continua en el punto x = x0 si (i) está definida ƒ(x0), (ii) existe lim x→x0 ƒ(x), (iii) lim x→x0 ƒ(x) = ƒ(x0).
Por ejemplo, ƒ(x) = x2 + 1 es continua en el punto x = 2 ya que limx→2 ƒ(x) = 5 = ƒ(2). La condición (i) expresa que una función puede ser continua únicamente en puntos de su dominio de definición. Así,pues, ƒ(x) = √4 – x2 no es continua en x = 3 puesto que ƒ(3) es imaginario y la función no está definida en este punto.
Se dice que una función es continua en un intervalo, (abierto o cerrado) cuando es continua en todos sus puntos. Se dice que una función es continua, cuando lo es en todos los puntos de su dominio de definición. Así, pues, ƒ(x) = x2 + 1 y todos los polinomios en x son funcionescontinuas; otros ejemplos son e2, sen x, cos x.
Si el dominio de definición de una función es un intervalo cerrado a ≤ x ≤b, la condición (ii) no se cumple en los extremos a y b. En estos casos se dice que la función es continua, cuando lo es en el intervalo abierto a < x < b y además, limx→a+ ƒ(x) = ƒ(a) y limx→b- ƒ(x) = ƒ(b).Por ejemplo, ƒ(x) = √9 – x2, es una función continua. Lasfunciones que se manejan normalmente en el cálculo elemental son continuas en sus dominios de definición excepto en algún punto aislado.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente, y sus inversas cosecante, secante y cotangente) a todos los números reales y complejos. Las razones trigonométricasse definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.
2) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto.
3) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud delcateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.
4) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la del cateto adyacente.
5) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente.
6) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto.

TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNAFUNCIÓN
Los teoremas sobre continuidad de funciones se deducen rápidamente de los teoremas sobre límites. En particular, si ƒ(x) y g(x) son continuas para x = a, también lo son ƒ(x) ± g(x), ƒ(x) · g(x) y ƒ(x) / g(x) siempre que, en esta última, g(a) ≠ 0. Es decir, mientras todos los polinomios de x son funciones continuas para todos los valores de la variable, las funciones racionales soncontinuas para todos los valores de x excepto que anulan al denominador.
En álgebra se aplican algunas de las propiedades de las funciones continuas, por ejemplo:
a) En la curva representativa de una función polinómica y = ƒ(x), dos puntos cualesquiera de ella [a, ƒ(a)] y b, [ƒ(b)] están unidos por un arco continuo.
b) Si ƒ(a) y ƒ(b) tienen signos opuestos, la curva de la función y = ƒ(x),corta al eje x por lo menos una vez, y la ecuación ƒ(x) = 0 tiene, por lo menos, una raíz entre x = a y x = b.
La propiedad de las funciones continuas que aplicamos aquí es:
I. Si ƒ(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b, y si ƒ(a) ≠ ƒ(b), todo valor, c, comprendido entre ƒ(a) y ƒ(b) lo toma la función al menos para un valor de x del intervalo, como por ejemplo x0 de forma que ƒ(x0) = c....