Cálculo Integral 4Ta Unidad

Integrales Indefinidas por Sustitución Trigonom6étrica
La sustitución de las funciones de trigonometría por alguna función algebraica se conoce como sustitución trigonométrica.
Existen ciertas funciones para las cuales otras sustituciones no funcionan dado que podrían transformar toda la expresión en una forma aún más críptica.
Algunos de estos ejemplos pueden ser resueltos por lassustituciones trigonométricas a lugar.
Es muy importante identificar el tipo de integrandos donde hacer una sustitución trigonométrica es la mejor opción.
Por lo general las expresiones que pueden representar los lados de un triángulo, y debido a esto, el teorema de la hipotenusa puede mantenerse cierto, pueden ser sustituidas por una función trigonométrica.
También es importante estaral tanto de las identidades y fórmulas trigonométricas para poder resolver estos problemas. Por ejemplo para una función tal que,

Un error común que la gente comete cuando observa las integrales de este tipo es reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que es una suposición errónea.
También podemos ver que existe una expresión de raíz cuadrada en el integrando la cual podría resultar tediosa deresolver, por tanto su eliminación sería una buena elección.

Como podemos ver en la figura anterior la expresión de la base del triángulo es representada por y x representa la altura del triángulo. Por tanto una sustitución trigonométrica sería una mejor opción. Supongamos ahora sin = x/ 3 utilizando la fórmula sin = longitud del triángulo dividido por la hipotenusa del triángulox = 3 sin … (1)
El valor de puede ser deducido usando la formula = arc sin (x/ 3)
Ahora diferenciando la ecuación número (1) obtenemos
Integral dx = 3 cos d
Integral = 3 cos
Ahora el nuevo integrando se convierte
Simplificando esta obtenemos
Finalmente nos da + c como respuesta.
Es esencial que antes de uno proceder con la solución, sea dibujado un bosquejo aproximado de los lados deltriángulo para que en ningún paso ocurra una sustitución incorrecta. Además, si el valor de x es igual a cero o el valor de es igual a cero entonces tal triángulo no puede existir.
Un conjunto general de las sustituciones que se utilizan para sustituciones trigonométricas son las siguientes,

* Es sustituido asumiendo que x = p sin

*Es sustituido asumiendo que x = p tan

* Es sustituido asumiendo que x = p sec
Estas son sustituciones estándares que pueden ser tomadas como normas para la sustitución trigonométrica.
En el caso que la variable sea precedida por un término coeficiente, entonces ese coeficiente pasa a ser el denominador del término constante que precede a lafunción trigonométrica en el lado derecho.
Si tenemos algún tipo de expresión cuadrática bajo la raíz cuadrada entonces convertir esta en un cuadrado perfecto debe ser el primer paso para la solución del problema.
Vale la pena saber que sólo en los casos donde el denominador no produce una raíz real, podemos usar una función tangente como sustitución.

Sin embargo, hacer que una funcióntrigonométrica sustituya una función algebraica no es la única solución, el problema también puede resolverse utilizando las reglas simples de integración, ya que existen muchas maneras de resolver un integrando específico.
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Ejemplo # 1
*

Utilizamos nuestro triangulo para obtener función trigonométrica:

Despejamos  luego le sacamos su diferencialy nos quedaría de la siguiente manera:

Luego tenemos:
 

Despejamos  nos queda así:

Luego sustituimos nuestros datos en la integral y queda de la siguiente manera:

En esta parte se eliminan  y  y nos queda:

Como el  es una constante lo podemos sacar de la integral, y utilizamos la identidad trigonométrica 

La integral de 
Ya por ultimo sacamos  de nuestro triangulo y el...